Bestimmen Sie Basen KernF BildF/Linearität beweisen

Question

Text erkannt:

Sei $V[x]$ der $\mathbb{R}$ -Vektorraum der Polynome über einer Variablen $x$ vom Grad $\leq 2$, also:
$$V[x]=\left\{\sum \limits_{i=0}^{2} a_{i} x^{i} \mid a_{i} \in \mathbb{R} \text { für } i \in\{0,1,2\}\right\}$$
(Dass $V[x]$ ein Vektorraum ist, kann vorausgesetzt werden und ist hier nicht zu zeigen.) Sei $f: V[x] \rightarrow V[x]$ definiert durch:
$$f\left(\sum \limits_{i=0}^{2} a_{i} x^{i}\right)=\left(a_{2}+2 a_{1}\right) x+\left(a_{1}+a_{0}\right)$$
1. Beweisen Sie, dass $f$ linear ist
2. Bestimmen Sie Basen von $\operatorname{Kern}(f)$ und $\operatorname{Bild}(f)$

Ich weiß wie man beweist ob f linear ist und wie man Basen von kern und bild berechnet, jedoch verstehe ich die funktion nicht. was genau sind hier die vektoren? wenn a0 a1 und a2 die vektoren sind, ist dann zb (1/-1/2) eine basis von kernf, weil sie auf 0 abbildet? was bedeutet das x? ist das einfach nur da um die vektoren abhängig zu machen von einer variablen x?

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung $f$ bildet ein Polynom von Grad 2 auf ein Polynom vom Grad 1 ab:$$a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2\;\stackrel{f}{\mapsto}\;(a_0+a_1)+(2a_1+a_2)\cdot x$$Schreiben wir das in Vektorschreibweise mit den Standardbasen $(1,x,x^2)$ für Polynome vom Grad 2 und $(1,x)$ für Polynome vom Grad 1, bekommen wir:$$\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\stackrel{f}{\mapsto}\binom{1}{x}\cdot\binom{a_0+a_1}{2a_1+a_2}$$Damit können wir für die Abbildung $f$ eine Abbildungsmatrix $\mathbf F$ angeben:

$$\mathbf F\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}=\binom{a_0+a_1}{2a_1+a_2}=\binom{1}{0}a_0+\binom{1}{2}a_1+\binom{0}{1}a_2=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}$$$$\implies\quad\mathbf F=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$Damit ist die Abbildung $f$ automatisch linear, weil für Matrizen die Lineariät und Homogenität gilt:$$\mathbf F\cdot(\vec x_1+\vec x_2)=\mathbf F\cdot\vec x_1+\mathbf F\cdot\vec x_2\quad;\quad \mathbf F\cdot(\alpha\cdot \vec x)=\alpha\cdot(\mathbf F\cdot\vec x)\;\text{ mit }\alpha\in\mathbb R$$Das Bild der Matrix sind alle Polynome vom Grad 1, weil offensichtlich$$\operatorname{Bild}(\mathbf F)=\left(\,\binom{1}{0}\,;\,\binom{0}{1}\,\right)$$Den Kern der Abbildung können wir auch direkt aus der Matrix $\mathbf F$ ablesen:

$$\begin{array}{rrr|r|l}a_0 & a_1 & a_2 & = & \text{bedeutet}\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & a_0=-a_1\\0 & 2 & 1 & 0 &a_2=-2a_1\end{array}$$Der Kern enthält also alle Vektoren mit

$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1\\a_1\\-2a_1\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$$Als Basis des Kerns können wir daher z.B. angeben:$$\text{Kern}(\mathbf F)=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$

Comments

Hallo

eigentlich sollte man auch mit Vektoren umgehen können, die man nicht als Zahlentripel schreibt,

dann würde man schreiben im Kern liegen die Polynome a-ax-2ax² mit a in R Basis des Kerns  ist  z,B 1-x-2x²

eine Basis des Bildes ist 1, x

Gruß lul

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Ja stimmt, das hätte ich noch angeben können...

Beim Kern hast du einen Vorzeichenfehler. Dort müsste es heißen:

$a-ax+2ax^2\quad\text{mit }a\in\mathbb R$

Vielen Dank für die Ergänzung ;)

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Danke Tschaika

lul

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vielen dank für die ausführliche antwort :) alle fragen beantwortet

Answer 2

Hallo

die Polynome sind die Vektoren, man kann als Basis z.B. 1, x, x² wählen

(dann kann man a₀+a₁x+a₂x²  auch auf den Vektor ((a0,a1,a2) im R³ abbilden )

da das Bild nur noch 2 d ist, muss der Kern ≠0  sein und er ist ja leicht zu finden. Das Bild etwa, indem man die obige Basis abbildet.

da man Polynome addieren kann und mit einer Zahl multiplizieren, kann man leicht zeigen, dass sie einen VR bilden.

Gruß lul

Comments

Hey vielen Dank für die Antwort.

Also sind die Polynome meine Vektoren. Wie sehen die allgemein aus? x⁰ x^1und x² bzw. a0+a1x+a2x2? Und wie komme ich auf eine Basis zu Kern(f)? Ich würde das so machen, dass ich meine Matrix gleich 0 setze und dann die Lösungsmenge bestimme. Aber wie sehen meine Zeilen in der Matrix aus?

Wie hast du erkannt, dass das Bild 2 dimensional ist und wie bestimmt man hier eine basis für das bild?