Stetigkeit einer Funktion (Folgen)

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℝ → ℝ  sodass der Grenzwert f(a_n) ex. (a_n Nullfolge).

Problem/Ansatz:

zu Zeigen dass f stetig an a=0 ist.

ich hab mir überlegt dass ich für zwei Folgen a_n und b_n die Folge (a_0, b_0, ...... ) betrachten kann. Aber ich weiß nicht wie ich weiter komme.

Answer 1

Das soll ja wohl heißen:

Für jede Nullfolge a_n existiert der Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n) \)

Zu zeigen ist dann doch nur noch, dass diese Grenzwerte alle mit f(0)

übereinstimmen, da f auf ℝ definiert ist, gibt es jedenfalls f(0).

Und die konstante Folge a_n=0 ist ja auch eine Nullfolge und

konvergiert gegen f(0) , da bei \( \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n) \) alle

Folgenglieder gleich f(0) sind.

Ich nun a_n irgendeine Nullfolge, die nach Vor. gegen a konvergiert,

dann ist auch die Folge b_n die abwechselnd aus Gliedern

von a_n und dem Folgenglied 0 besteht eine Nullfolge.

Also b_2n=a_n und b_2n+1 = 0

Also hat auch diese Folge  einen Grenzwert und sie hat

zwei konvergente Teilfolgen, die eine geht gegen a und

die andere gegen f(0) , also gilt a=f(0) .   q.e.d.

Answer 2

Sei

        \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto \begin{cases}x\sin{\frac{1}{x}}&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}\)

und

        \(\left(a_n\right)_{n\in \mathbb{N}} = \left(\frac{1}{n\pi}\right)_{n\in \mathbb{N}}\).

Dann ist \(\left(a_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Nullfollge und \(\lim\limits_{n\to \infty}f\left(a_n\right)\) existiert, aber \(f\) ist bei \(0\) nicht stetig.

Comments

Ich habe die nicht sehr klare Aufgabe

anders interpretiert.