Was ist die Ableitung von 3^(5x+4)?

Question

Hallo, kurze Frage:

Man kann ja zum Beispiel 2^x mithilfe eines Tricks ableiten, indem man den natürlichen Logarithmus und die E-Funktion benutzt, also

f(x) = 2^x = e^xln2

f´(x) = ln(2) * e^xln2 = ln(2) * 2^x

Geht das auch mit 3^(5x+4) ?Ich bekomme immer das falsche Ergebnis raus:

Bei mir kommt sowas raus:

f(x) =  3^(5x+4) = e^(5x+4)ln3

f´(x) = ln(3) * e^(5x+4)ln3 = ln(3) * 3^(5x+4) was aber falsch ist !

Kann mir einer zeigen, wie das mit meiner Methode richtig wäre ?

Answer 1

f´(x) = ln(2) * e^xln2

Der Faktor ln(2), der hinzugekommen ist, ist die Ableitung des Exponenten.

f´(x) = ln(3) * e^(5x+4)ln3

Die Ableitung des Exponenten ist 5·ln(3), nicht nur ln(3).
Also ist
        f´(x) = 5·ln(3)·e^(5x+4)ln3.

Comments

Hallo,

dann würde ja aber dann f´(x) = 5*ln(3)*e^(5x+4)ln3 stehen, die Ableitung ist ja aber f´(x) = 5*ln(3). Wie bekommt man denn dann e^(5x+4)ln3 wieder weg ?

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Wie bekommt man denn dann e^(5x+4)ln3 wieder weg ?

Überhaupt nicht:

\(e^{(5x+4)·ln(3)}= ( e^ {ln(3)} )^{5x+4}=3^{5x+4}\)

\(f'(x) = 5·ln(3)·( e^ {ln(3)} )^{5x+4} = 5·ln(3)·3^{5x+4} \)

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die Ableitung ist ja aber f´(x) = 5*ln(3)

Die Ableitung von

        \(f(x) =  e^{(5x+4)\ln3}\)

ist nicht \(5\ln(3)\).

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Ja, habe das gerade in einen Integralrechner eingegeben und da kam auch dein Ergebnis raus. Besten Dank Dir und Wolfgang@, habs verstanden.

Answer 2

Aloha :)

Hier kannst du ausnutzen, dass sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig aufheben:$$f(x)=3^{5x+4}=e^{\ln\left(3^{5x+4}\right)}=e^{(5x+4)\ln(3)}=e^{5\ln(3)\cdot x+4\ln(3)}$$Die Ableitung funktioniert nun mit der Kettenregel:$$f'(x)=\underbrace{e^{5\ln(3)\cdot x+4\ln(3)}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{5\ln(3)}_{=\text{innere Abl.}}=3^{5x+4}\cdot5\ln(3)$$

Comments

Vielen lieben Dank