Wie bestimmt man den Hoch & Tiefpunkt von f(x)=x^{2}*e^{-2x+1}?

Question

Wir sollen den Hoch & Tiefpunkt bestimmen.

Würde mich über hilfreiche Antworten freuen :)

Ganz Liebe Grüße :)

Answer 1

 

für einen Hochpunkt einer Funktion f(x) ist die notwendige Bedingung f'(x) = 0, die hinreichende Bedingung ist f''(x) < 0.

Tiefpunkt: Notwendige Bedingung f'(x) = 0, hinreichende Bedingung f''(x) > 0

 

f(x) = x² * e^-2x+1

 

Zur Ableitung müssen wir zunächst einmal die Produktregel verwenden (uv)' = u'v + uv'

u = x² | u' = 2x

v = e^-2x+1

 

Zur Bestimmung der Ableitung von v müssen wir die Kettenregel anwenden: Innere Ableitung * äußere Ableitung

Innere Funktion: -2x + 1 | innere Ableitung: -2

Äußere Funktion: e^-2x+1 | äußere Ableitung: e^-2x+1

 

Insgesamt ist dann

f'(x) = 2x * e^-2x+1 + x² * (-2) * e^-2x+1 = (-2x² + 2x) * e^-2x+1

Diese 1. Ableitung muss also sowohl für einen Hochpunkt als auch für einen Tiefpunkt = 0 sein.

e^-2x+1 ≠ 0

-2x² + 2x = 0 | :2

-x² + x = 0

x * (-x + 1) = 0

x₁ = 0

x₂ = 1

 

Wir bilden die 2. Ableitung wie eben:

(uv)' = u'v + uv'

u' = (-2x² + 2x)' = -4x + 2

v = e^-2x+1

u = -2x² + 2x

v' = -2 * e^-2x+1

f''(x) = (-4x + 2) * e^-2x+1 + (-2x² + 2x) * (-2) * e^-2x+1 = (-4x + 2 + 4x² - 4x) * e^-2x+1 = (4x² - 8x + 2) * e^-2x+1

Setzen wir x₁ = 0 ein:

2 * e > 0, deshalb

Tiefpunkt (0|f(0))

Setzen wir x₂ = 1 ein:

(4 - 8 + 2) * e^-1 = -2 * 1/e < 0, deshalb

Hochpunkt (1|f(1))

 

Nun müsste man noch die y-Koordinaten der beiden Punkte berechnen, indem man einmal 0 und einmal 1 in die Ursprungsfunktion einsetzt, wozu ich aber jetzt keine Lust mehr habe :-)

 

Die Funktion sieht übrigens so aus:

 

Lieben Gruß