Bestimme das folgende Riemann Integral

Question

Hallo Liebe Mathelounge, ich bräuchte bei der folgenden Aufgabe mal bitte eure Hilfe und würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Gegeben Sei die Menge

A={(x,y)∈R² : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 2, y-1 ≤ x ≤ y+1}

Bestimme das folgende Riemann Integral

\( \int\limits_{A}^{} \) (x+y)d(x,y)

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen \(f(x;y)=x+y\) über der Menge \(M\) integrieren, wobei$$A\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\ge0\;,\;0\le y\le 2\;,\;y-1\le x \le y+1\}$$Diese Punktmenge können wir in 2 disjunkte Teilmengen aufteilen:$$A_1\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,1\le y\le 2\;,\;y-1\le x \le y+1\}$$$$A_2\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le y<1\;,\;0\le x \le y+1\}$$

Es liegt also nahe, das gesuchte Flächenintegral in zwei Integrale aufzuteilen:

$$I=\int\limits_1^2dy\int\limits_{y-1}^{y+1}dx\,(x+y)+\int\limits_0^1dy\int\limits_0^{y+1}dx\,(x+y)$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^2dy\left[\frac{x^2}{2}+yx\right]_{x=y-1}^{y+1}+\int\limits_0^1dy\left[\frac{x^2}{2}+yx\right]_{x=0}^{y+1}$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^2dy\,4y+\int\limits_0^1dy\,\frac{1}{2}(3y^2+4y+1)$$$$\phantom{I}=\left[2y^2\right]_1^2+\frac{1}{2}\left[y^3+2y^2+y\right]_0^1=6+2=8$$

Comments

Danke für deine Aufführung. könntest du mir hier noch helfen? https://www.mathelounge.de/825449/bestimme-das-folgende-riemann-integral-der-menge-b

Answer 2

Hallo

irgendwas  stimmt mit deinem A nicht: 0<y<2 und y-1 ≤ 0 ≤ y+1 passt nicht zusammen

wenn du das berichtigt hast, zeichne das Gebiet doch auf, dann siehst du die Grenzen, die du wohl suchst, denn die Stammfunktionen kannst du ja wohl.

Gruß lul

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Vielen Dank, dass du mich auf den Fehler hingewiesen hast. Ich habe ihn oben verbessert. ich hätte jetzt für die Grenze von y 0 bis 2 und für x 1 bis 3. stimmt das?

Answer 3

Hallo :-)

zunächst kann man die Menge \(A\) etwas vereinfachen:

\(A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 0\leq x,\ 0\leq y\leq 1 \}\),

da     \(y-1\leq 0\leq y+1 \Leftrightarrow -1\leq -y\leq 1 \Leftrightarrow -1\leq y\leq 1\)

Und jetzt setzt du ein:

\(\begin{aligned} \int\limits_A (x+y)d(x,y)=\int\limits_0^\infty\left( \int\limits_0^1(x+y)dy\right )dx\end{aligned}\)

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Hallo, Danke für deine Aufführungen. Leider ist mir beim abtippen ein kleiner Fehler passiert. Ich habe die Frage oben berichtigt. Ich habe mich mal selber an den Grenzen versucht. Lauten diese \( \int\limits_{1}^{3} \)( \( \int\limits_{1}^{2} \) (x+y)dy ) dx?

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Supi Danke. Das Ergebnis müsste dann 15 lauten

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\(\begin{aligned} &\int\limits_A (x+y)d(x,y)=\int\limits_0^2\left( \int\limits_{y-1}^{y+1}(x+y)dx\right )dy\\&=\int\limits_0^2\left[\frac{1}{2}\cdot x^2+y\cdot x\right ]_{y-1}^{y+1}dy\\&=\int_0^2 \left(\frac{1}{2}(y+1)^2+y(y+1)-\frac{1}{2}(y-1)^2-y(y-1)\right)\ dy\\&\stackrel{\text{3. bin. Formel}}{=}\int_0^2 \left(\frac{1}{2}((y+1)+(y-1))((y+1)-(y-1))+y((y+1)-(y-1))\right)\ dy\\&=\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot 2+2\cdot y\right)\ dy\\&=\int\limits_0^2 4y\ dy=[2y^2]_0^2=8\end{aligned}\)

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Sorry, ihr habt euch bei den Integrationsgrenzen vertan. In eurer Umformung ist z.B. der Punkt \((x;y)=(3|1,5)\) enthalten. In der ursprünglichen Menge \(A\) jedoch nicht, weil für \(y=1,5\) der Wert von \(x\) maximal \(2,5\) sein darf.

Daher sind hier die Integrationsgrenzen falsch.

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Oh :-)  Habe es angepasst.