Für welche x konvergiert eine Reihe mit k im Exponenten und im Nenner und zusätzlich noch eine Differenz

Question

Aufgabe:

Für welche x>0 konvergiert die Reihe:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k}-1}{k^{2} x^{2 k}} \)

Problem/Ansatz:

Tatsächlich stecke ich seit mehreren Stunden in einer Sackgasse hierbei.

Meine Überlegungen waren:

1. Es ist keine Potenzreihe (da es nicht in der allgemeinen Form vorliegt), weswegen ich mittels Konvergenzkriterien versuche, auf eine Lösung zu kommen.

2. Mit dem Quotientenkriterium und (weniger erfolgreich) mit dem Wurzelkriterium habe ich es also versucht. Hierbei habe ich den Betrag von a k+1 / ak <= 1 gesetzt, da ich ja möchte, dass die Reihe konvergiert.

Leider bekomme ich immer einen absolut undurchsichtigen Ausdruck heraus mit x und auch k. Ich weiß nicht, wie ich diese Ungleichung dementsprechend lösen soll.

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wo mein Fehler ist und wie ich den Denkfehler beheben könnte?

Answer 1

Nein, ich kann dir keinen Tipp geben wo dein Fehler ist, weil ich weder deine Berechnungen zum Wurzelkriterium noch deine Berechnungen zum Quotientenkriterium einsehen kann.

(Meine Glaskugel ist gerade zur Inspektion.)

Comments

Ach, stimmt das Vorgehen bis dato also?

Damit hätte ich nicht gerechnet,um ehrlich zu sein.

Meine Anwendung des Quotientenkriteriums hat mich zu folgender Stelle geführt:

\( \sqrt{\frac{3^{k+1}*k^{2}-k^{2}}{(k^{2}+2*k+1)*(3^{k}-1)}} \) <= x

Kurz zur Erklärung:

Habe das Wurzelkriterium ganz normal aufgestellt, \( x^{2*k} \) konnte herausgekürzt werden, dann ausmultipliziert. Letzten Endes dann mit x^2 durchmultipliziert.

Danke übrigens für deine Antwort!