Für welche x ∈ R konvergiert die folgende Potenzreihe?

Question

Aufgabe:

für welche x ∈ R konvergieren die folgenden Reihen? (Bestimmen Sie den Konvergenzradius R. Falls R ≠ 0 und R ≠ ∞, untersuchen Sie das Konvergenzverhalten an den
Endpunkten des Konvergenzintervalls.)

∑^∞_n=0    (-1)ⁿ9ⁿx²ⁿ

Answer 1

setze erst mal z=x² dann ist es die Reihe

∑∞n=0    (-1)ⁿ⁹^n zⁿ

und mit betrachte  9ⁿ / 9^(n+1) = 1/9

und das ist konstant, hat also für n gegen unendlich

den Grenzwert 1/9 , das ist der Konvergenzradius der z-Reihe,

Und |z| < 1/9 ==>   |x²| < 1/9 ==>   -1/3 < x < 1/3.

Bei den Randpunkten, ist x² = (1/9)ⁿ

sind Summanden der Reihe   (-1)ⁿ * 9ⁿ * (1/9)ⁿ = (-1)ⁿ .

Also konvergiert die Reihe nicht, das die Folge der Summanden

nicht gegen 0 geht.