resultierende Schwingung berechnen(komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden mechanischen Schwingungen
y₁(t) = 20cm * sin(w*t+π/10) und y₂(t) = 15 cm*cos(w*t + π/6), die ungestört überlagert werden. Wie lautet
die resultierende Schwingung? (Kosinusform)      ;ω = π*s^-1

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen ? :)

Problem/Mein Ansatz:

y₁(t)= 20cm*cos(wt-4π/10) = 20 e^i(wt-4π/10)

y2(t) =15cm*cos(wt+π/6) = 15e^i(wt+π/6)

y1(t) + y2(t) = 20 e^i(wt-4π/10) + 15e^i(wt+π/6) = (20e^-4π/10 +15e^π/6)e^iwt

A = \( \sqrt{(20)^2 + (15)^2} \) = \( \sqrt{625} \) =  25

α = 15/20 = 0,75

arctan(0,75) = 36,87°

Comments

Hallo

so wie du sin und cos in eine e Funktion umschreibst geht das nicht, ist die aufgefallen dass du denselben Ausdruck für sin und cos benutzt?

Kennst du das Konzept des Zeigediagramms? damit geht es am einfachsten.

vielleicht zuerst beides in sin oder beides in cos verwandeln ?

Gruß lul

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Hab ich doch.

Answer 1

Hallo,

wenn Du für beide Schwingungen den Cosinus verwenden willst, so nutze den Zusammenhang$$\sin(x) = \cos\left( x - \frac \pi2\right)$$Also ist \(y_1\)$$y_1(t) = 20\,\text{cm}\cdot \sin\left(\omega t+ \frac \pi{10}\right)\\ \phantom{y_1(t) }= 20\,\text{cm}\cdot \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{5}\right)$$Mache Dir dann ein Zeigerdiagramm, genauso wie von lul vorgeschlagen:

da kann man das Ergebnis schon 'rausmessen'. Zur Berechnung bestimme die Koordinaten der Zeiger und addiere sie:$$a = 20 \cdot \cos\left( - \frac{2\pi}{5}\right) + 15 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \approx 19,17 \\ b = 20 \cdot \sin\left( - \frac{2\pi}{5}\right) + 15 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \approx -11,62$$Und die Resultierende ist dann$$y_1(t) + y_2(t) = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \cos\left( \omega t + \arctan\left(\frac ba\right) \right) \\ \phantom{y_1(t) + y_2(t) } \approx 22,4\,\text{cm} \cdot \cos(\omega t - 0,54) $$Hinweis: beim \(\arctan\) immer aufpassen, in welchem Quadranten man sich befindet! Anbei die beiden Graphen im Plotlux

~plot~ 20*sin(x+pi/10)+15*sin(x+2*pi/3);[[-7|7|-25|25]];22.4*sin(x+1.03) ~plot~

wie man sieht, überlappen sie erwartungsgemäß.

Gruß Werner

PS.: ein bißchen mehr Feedback - in wie weit die Antwort hilfreich war - würde mich freuen.

Comments

Ich habe aber die Sinusfunktion in Cosinus umgewandelt.

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Ich habe aber die Sinusfunktion in Cosinus umgewandelt.

ich auch ;-) (s.o.)

ich hatte die Umwandlung in Deiner Frage zunächst missinterpretiert, aber es ist richtig.

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Hallo user 18697

Ich zumindest war beeindruckt mit wievielte Mühe und Ausführlichkeit dir W. S. geantwortet hat, sogar noch mit der bitte um etwas mehr Rückmeldung. statt dessen kommt :"Ich habe aber die Sinusfunktion in Cosinus umgewandelt." die zeigt, dass du den ausführlichen post mal kurz angesehen hast, Kein Danke, keine Bewertung als beste Antwort, so verdirbt man Helfern wirklich den Spaß. Nach art der Frage bist du ja kein pubertierender , dem man üblicherweise Schwierigkeiten mit Umgangsformen zuschreibt?

lul

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@lul: Danke für die Unterstützung.

user18697 hatte mich übrigens persönlich um die Beantwortung dieser Frage gebeten. Aber das ist natürlich ein Grund mehr für ein Feedback.

@user18697:

y₁(t) + y₂(t) = ... = (20e^-4π/10 +15e^π/6)e^iwt

an dieser Stelle hast Du das '\(i\)' im Exponenten unterschlagen. Deshalb macht auch die nachfolgende Rechnung keinen Sinn mehr. Besser z.B.:$$e^{i(\omega t + \pi/6)} = e^{i\omega t} \cdot e^{{\color{red}i} \pi/6}$$

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Du hast natürlich Recht, dass ich mich Werner-Salemon für seine sehr ausführlichen und sehr hilfreichen Beiträge danken sollte und es auch hiermit mache.

Ich wollte nur ein Missverständnis klären, dass ich die Sinusfunktion vorher nicht in eine Kosinusfunktion umgewandelt habe, oder ich das nicht deutlich gekennzeichnet habe(was mein Fehler gewesen ist).

Letzteres schien mir wahrscheinlich da Werner und lul auch dachte, dass die Funktion noch nicht umgewandelt wurde.

Nochmals vielen Dank :)

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Vielen Dank für deine detailliert und ausführlich beschriebene Antwort.

Aber ich kriege leider was anderes raus.

Was mache ich falsch?

arctan(\( \frac{-11,62}{19,17} \)) = arctan(0,6062...) = - 0,5411 rad

Würde mich sehr um eine Rückmeldung freuen :)

Beste Grüße

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Was mache ich falsch?

arctan(\( \frac{-11,62}{19,17} \)) = arctan(0,6062...) = - 0,5411 rad

Nichts - das ist korrekt. War mein Fehler, ich hatte das falsch abgeschrieben. Vorher stand dort der Sinus - heißt:$$y_1(t) + y_2(t)  \approx 22,4\,\text{cm} \cdot \sin(\omega t + 1,03)$$das ist auch die Formel im Plotlux (s. Antwort).

Wenn man nun von \(1,03\) die \(\pi/2\)  abzieht, kommt man zu$$y_1(t) + y_2(t)  \approx 22,4\,\text{cm} \cdot \cos(\omega t - 0,54 )$$Tipp: einfach die Formel in den Plotlux einsetzen, dann sieht man solche Fehler sofort.

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Danke für die Antwort. :)

Muss man eigentlich die pi/2 in diesem Fall dazu (zu -0,54)addieren, da das im Ergebnis berücksichtigt wurde?

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Muss man eigentlich die pi/2 in diesem Fall dazu (zu -0,54)addieren, da das im Ergebnis berücksichtigt wurde?

Muss man nur dann, wenn man statt des Sinus dort den Cosinus stehen haben will.

Ich verstehe die Frage nicht wirklich!?

Es geht ja nur um die Umrechnung von Sinus zu Cosinus und umgekehrt - es gilt natürlich immer$$\sin(x)= \cos\left(x - \frac \pi2\right)$$In der ersten Version meiner Antwort hatte ich alles auf den Sinus umgestellt und erst später durch den Cosinus ersetzt. Dabei ist mir dann der Fehler mit der \(1,03\) passiert. Hier hatte ich versäumt, diese Zahl zu korrigieren.

Es gilt$$\sin(\omega t + 1,03) \approx \cos(\omega t - 0,54)$$das ist das selbe! (also nummerisch ungefähr)

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Aso. Ich dachte u.a. dass man das Ergebnis noch umrechnen muss und du daher cos(wt+1,03) raushast..

Danke.

Kannst du mir bitte auch sagen, ob das richtig ist?

-> cos(wt-0,54) = e^i(wt-0,54)

Und muss ich den Wert in ω (ω = π*s-1) noch einsetzen

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Kannst du mir bitte auch sagen, ob das richtig ist?

-> cos(wt-0,54) = e^i(wt-0,54)

Oh - das hatte ich ganz vergessen. Das ist falsch. Das ist schon deshalb falsch, weil links eine reelle Zahl steht und rechts ein Ausdruck, der im Allgemeinen einen imaginären Anteil hat.

Der Zusammenhang zwischen Cosinus und \(e\)-Funktion ist$$\cos(x)= \frac 12\left( e^{ix} + e^{-ix}\right)$$\(e^{-ix}\) ist die Konjugierte von \(e^{ix}\) und damit fällt der imaginäre Anteil raus, wenn man beide addiert.

Mit der Summe von zwei Ausdruck wie$$\cos(\omega t + \varphi)$$wird dann daraus$$a\cos(\omega t + \varphi_1) + b\cos(\omega t + \varphi_2)\\ = \frac a2\left( e^{i(\omega t + \varphi_1)} + e^{-i(\omega t + \varphi_1)}\right) + \frac b2\left( e^{i(\omega t + \varphi_2)} + e^{-i(\omega t + \varphi_2)}\right)$$um die Terme zusammen zu fassen, reicht es aber aus, nur die den jeweils ersten Summanden mit positivem Vorzeichen zu betrachten. Mit dem zweiten Summanden wiederholt es sich ja nur jeweils mit negativem Exponenten$$\dots = \frac a2 e^{i(\omega t + \varphi_1)} + \frac b2 e^{i(\omega t + \varphi_2)} + \text{usw.} \\ \phantom{\dots} = \frac 12\left( a e^{i\varphi_1} + b e^{i\varphi_2}\right) e^{i\omega t} + \text{usw.}$$ich führe das jetzt nicht weiter aus. Den Faktor vor \(e^{i\omega t}\) kann man mit konkreten Zahlen ausrechnen und anschließend wieder das ganze in die Cosinus-Form umwandeln.

Der Weg über das Zeigerdiagramm ist IMHO anschaulicher. Die nummerische Berechnung sollte in beiden Fällen identisch sein.