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Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}\coloneqq1-\frac{1}{2+a_n}\quad;\quad a_1\coloneqq0$$
a) Die Folge ist streng monoton wachsend.
Wir beweisen das durch vollständige Induktion:$$a_2=1-\frac{1}{2+a_1}=1-\frac{1}{2+0}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0=a_1\quad\text{Verankerung}\;\checkmark$$Nach Induktionsvoraussetzung ist die Folge bis zum Index \((n+1)\) streng monoton wachsend. Daher sind \(a_{n+1}>a_1=0\) und \(a_{n}\ge a_1=0\), sodass gilt:$$a_{n+1}>a_n\implies2+a_{n+1}>2+a_n\stackrel{(a_{n+1},a_n\ge0)}{\implies}\frac{1}{2+a_{n+1}}<\frac{1}{2+a_n}\implies$$$$-\frac{1}{2+a_{n+1}}>-\frac{1}{2+a_n}\implies1-\frac{1}{2+a_{n+1}}>1-\frac{1}{2+a_n}\implies a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark$$
b) Die Folge ist beschränkt.
Da nach a) die Folge streng monoton wachsend ist, gilt bereits \(a_n\ge a_1=0\), d.h. \(0\) ist eine untere Schranke für \(a_n\). Als obere Schranke prüfen wir die \(1\) durch Induktion. Wegen \(a_0=0<1\) ist der Induktionsanfang bereits erfüllt. Im Induktionsschritt gehen wir von der Induktionsvoraussetzung aus$$a_n<1\implies2+a_n<3\implies\frac{1}{2+a_n}>\frac{1}{3}\implies-\frac{1}{2+a_n}<-\frac{1}{3}\implies$$$$1-\frac{1}{2+a_n}<1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}<1\implies a_{n+1}<1\quad\checkmark$$
Für alle Folgenglieder gilt daher: \(0\le a_n<1\).
c) Grenzwertbestimmung
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, daher konvergiert auch die hier betrachtete rekursive Folge. Den Grenzwert \(a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) bestimmen wir wie folgt:
$$\left.a_{n+1}=1-\frac{1}{2+a_n}\quad\right|\text{Grenzwertbildung}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2+a_n}\right)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=1-\frac{1}{2+\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\text{ einsetzen}$$$$\left.a=1-\frac{1}{2+a}\quad\right|\cdot(2+a)$$$$\left.2a+a^2=2+a-1=a+1\quad\right|-a$$$$\left.a^2+a=1\quad\right|+\frac{1}{4}$$$$\left.a^2+a+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\quad\right|\text{1. binomische Formel links}$$$$\left.\left(a+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.a+\frac{1}{2}=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\pm\frac{\sqrt5}{2}\quad\right|-\frac{1}{2}$$$$a=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt5}{2}$$Wegen \(a_n\ge0\) fällt die negative Lösung weg und es bleibt als Grenzwert:$$a=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0,618$$
