Aloha :)
Die Matrix \(A\) ist orthogonal diagonalisierbar, weil sie symmetrisch ist. Wir bestimmen zu den Eigenwerten$$\lambda_1=2\,;\;\lambda_2=3\;;\;\lambda_3=6$$die zugehörenden Eigenvektoren:$$\vec x_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \vec x_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec x_3=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$$und normieren sie:$$\vec n_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \vec n_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]-\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt3}\end{pmatrix}\quad;\quad\vec n_3=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix}$$
Damit ist klar, dass$$D=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt3} & -\frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]0& \frac{1}{\sqrt3} & \frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix}^{T}\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\-1 & 3 & 1\\-1 & 1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt3} & -\frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt3} & \frac{1}{\sqrt6}\\[1ex]0& \frac{1}{\sqrt3} & \frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix}$$$$\phantom{D}=\begin{pmatrix}\sqrt8 & 0 & 0\\0& \sqrt{27} & 0\\0 & 0 & \sqrt{216}\end{pmatrix}$$
