Wie erfolgt die exakte Berechnung der Wachstumsrate?

Question

Aufgabe:

Berechnung der Wachstumsrate

Problem/Ansatz:

Aufgabe:

1788 wurden 24 Kaninchen in Australien freigesetzt. 1900 schätzte man die Zahl der Kaninchen auf 500 Millionen. Nehmen Sie einfaches exponentielles Wachstum an:
a) Wie erfolgt die exakte Berechnung der Wachstumsrate ?
b) Schätzen Sie den Verdoppelungszeitraum der Population auf 20% genau ab.
(Hinweis: Überlegen Sie, wie viele Verdoppelungszeiträume notwendig sind, um von 24 auf 500x106 zu kommen; 210 1000)

ich habe die Wachstumsrate so berechnet:

f(t)= K0 . a^t

K0= Kaninchen Anfangsbestand

a= Wachstumsrate

t= Zeit (112 Jahre)

f(t)= Kaninchen Bestand 1900

durch Umformen komme ich auf a= 16%

in den Lösungen des Profs, wird mit der Funktion:

f(t)= K0 . e^at gerechnet.

Kann mir wer erklären wann ich mit e rechne und wann nicht?

Da im Internet bei diesem Beispiel ohne e gerechnet wird.

Answer 1

Es ist egal, ob du mit dem Wachstumsfaktor a oder der Wachstumskonstante a und der e-Fkt. rechnest,

wenn nicht ausdrückl. die e-Fkt. verlangt ist, die in der Wissenschaft üblicher ist.

Es gilt: a^t = e^(lna*t).

a= 1,16237, also 16,237%

Man sollte nicht zu knapp runden.

Wenn von Wachstumskonstante die Rede ist, ist die e-Fkt. gemeint.

Die Umwandlung der einen in die andere Fkt. ist banal, s.o.

PS:

Die Wachstumskonstante lautet meist k oder lambda.

Answer 2

Das ist Jacke wie Hose.
Es muß nur eine Expoentialfunktion sein.

Exponentialfunktion zur Basis a

k ( t ) = K0 * a ^112 = 500000000
Wachstumsfaktor
a = 1.1624
Wachstumsrate
16.24 %

Jede Exponentialfunktion kann in eine
Exponentiafunktion mit ander Basis umgewandelt
werden. Nehmen wir e

e^z = a^t
e^z = 1.1624^t | ln (,,)
ln(e^z) = ln (1.1624^t )
z = t * ln(1.1624)

k ( t ) = K0 * e ^( t * ln(1.1624))

Answer 3

Der Unterschied ist der, daß deine Kaninchen nicht nur am Jahresende Junge bekommen, sondern gleichmäßig verteilt über das Jahr. Es handelt sich also nicht um Jahreszinsen, sondern um eine stetige Verzinsung, deshalb die e-Formel.

Comments

Hallo evaeva, deine Sicht der Dinge
ist natürlich realistischer als eine
jährliche Berechnung.
Dagegen spricht der Fragetext :
Nehmen Sie einfaches exponentielles
Wachstum an:
95 % der Aufgaben zu exponentiellem
Wachstum ( Bakterien, Algen )
rechnen auch nur nach der Formel für
jährlich.
mfg Georg

Answer 4

Hallo

eigentlich ist es egal ob man mit K(t)=k(0)*1,16^t rechnet oder statt 1,16=e^ln(1,16) rechnet, dein a ist einfach ln(1,16)

man nimmt  häufiger  die e Funktion, weil sie besser im TR oder Programmen zu benutzen ist ( der Tr, der x^y hat rechnet intern auch mit der e- Funktion)

zum Rechnen geht es genauso Ansatz K(t)=K(0)*e^at, dann K(112)=5*10^8

also 5*10^8=24*e^a*112  ln, daraus ln(5*10^8/24)=112*a und damit a=....

Gruß lul

Answer 5

Man kann jede Potenz w^r in eine Potenz e^s umwandeln. Deshalb ist es eigentlich egal, ob du mit einem Wachstumsfaktor w oder mit einer Potenz zur Basis e rechnest. Wichtig ist allerdings die Interpretation der Ergebnisses. Aus dem Wachstumsfaktor w kann leicht auf das prozentuale Wachstum p schließen: w=1+p/100.