Isomorphismus Boolesche Algebren

Question

Aufgabe:

Beispielsweise ist für eine Menge \( M \neq \emptyset \) die Potenzmengenalgebra \( \mathscr{P}(M):=\left(\mathcal{P}(M), \cap, \cup,^{-}, \emptyset, M\right) \) eine boolesche Algebra. Ein weiteres Beispiel ist die boolesche Algebra der Aussagenlogik \( \mathbb{B}=(\{0,1\}, \wedge, \vee, \neg, 0,1) \).
(a) Für \( n \in \mathbb{N} \) erhalten wir die boolesche Algebra \( \mathbb{B}^{n} \) mit Trägermenge \( \{0,1\}^{n} \) und komponentenweise definierten Verknüpfungen, z.B.
\( \left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \vee\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right):=\left(p_{1} \vee q_{1}, \ldots, p_{n} \vee q_{n}\right) \)
An die Stelle von 0 und 1 treten die Tupel \( (0, \ldots, 0) \) und \( (1, \ldots, 1) \). Sei nun \( M=\left\{m_{1}, \ldots, m_{n}\right\} \) eine endliche Menge mit \( n \) Elementen. Zeigen Sie, dass \( \mathscr{P}(M) \) und \( \mathbb{B}^{n} \) isomorph sind.

Ich weiß ja, dass ein Isomophismus ein bijektiver Homomorphismus ist, d.h. in diesem Fall muss die Funktion mit Konjunktion und Disjunktion verträglich sein. Ich weiß aber nicht, wie ich voran gehen soll?

Answer 1

Sei nun \( M=\left\{m_{1}, \ldots, m_{n}\right\} \) eine endliche Menge mit \( n \) Elementen.

Definiere dazu für jede Teilmenge A von M die Abbildung f: M → {0,1}^n mit

f(m_i)  = 1    falls m_i∈A  und f(m_i)=0 sonst.

Also etwa für M={a,b,c,d,e}  und A={b,d,e} ist f(A) das 5-Tupel (0,1,0,1,1).

An der i-ten Stelle steht 1, wenn das i-te Element in A ist, sonst 0.

Dann definiere die Abbildung g :  \( \mathscr{P}(M) \) → \( \mathbb{B}^{n} \) durch

g ( A ) = ( f(m₁) , f(m₂) , ... , f(m_n) ). Das ist ein Isomorphismus.