Wie bestimmt man das Taylorpolynom ersten Grades?

Question

Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades T1 der Funktion f : (0,∞) → IR gegeben durch f(x) = 2 · ln(x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 1.

T1 =

Wie macht man das?

Answer 1

Aloha :)

Die Taylor-Reihe sieht so aus:$$f(x)\approx f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2++\frac{f''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots$$

Du sollst sie nun bis zur ersten Ordnung aufstellen:$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Für \(x_0=1\) und unsere Funktion \(f(x)=2\cdot\ln(x)\) erhalten wir:

$$f(x_0)=f(1)=2\cdot\ln(1)=0$$$$f'(x)=\frac{2}{x}\implies f'(x_0)=f'(1)=\frac{2}{1}=2$$

Wir setzen das in die Taylor-Reihe bis zur ersten Ordnung ein:$$f(x)\approx0+2\cdot(x-1)=2x-2$$

~plot~ 2*ln(x) ; 2x-2 ; {1|0} ; [[0|2|-2|2]] ~plot~