Wie berechne ich den Winkel unter dem sich 2 Geraden schneiden

Question

Aufgabe:

Eine Gerade g_k  verläuft durch die Punkte F(12;8;10) und   Gk(3k;5k;-16k)  mit k∈ℝ und k≠0

Wie lautet eine Gleichung der Geraden g_k

Wie groß ist der Winkel ρ unter dem sich die Geraden g₁ und g_-2 schneiden

Answer 1

Schau mal hier:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/schnittwinkel-zweier-geraden.html

Answer 2

Aloha :)

Die Gleichung der Gerade \(g\) lautet:

$$g\colon\vec f+\lambda\cdot\left(\vec g_k-\vec f\right)=\left(\begin{array}{r}12\\8\\10\end{array}\right)+\lambda\left(\left(\begin{array}{r}3k\\5k\\-16k\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}12\\8\\10\end{array}\right)\right)$$$$g\colon\left(\begin{array}{r}12\\8\\10\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}3k-12\\5k-8\\-16k-10\end{array}\right)\quad;\quad k\ne0$$

Da der Aufpunkt für alle Gerade \(g_k\) derselbe ist, ist dies auch der Schnittpunkt der Geraden \(g_1\) und \(g_{-2}\). Der Schnittwinkel der beiden Geraden ist daher gleich dem Schnittwinkel der beiden Richtungsvektoren:

$$\cos\varphi=\frac{\left(\begin{array}{r}-9\\-3\\-26\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-18\\-18\\22\end{array}\right)}{\left\|\left(\begin{array}{r}-9\\-3\\-26\end{array}\right)\right|\cdot\left\|\left(\begin{array}{r}-18\\-18\\22\end{array}\right)\right\|}=\frac{-356}{\sqrt{766}\cdot\sqrt{1132}}=-0,382307$$$$\implies\varphi=112,48^\circ\,(\to67,52^\circ)$$

Wenn sich zwei Vektoren schneiden, entstehen 2 Winkel, ein kleiner und ein großer (außer sie schneiden sich senkrecht). Es ist Konvention als Schnittwinkel zwischen 2 Vektoren den kleineren von beiden anzugeben. Daher wird in den Lösungen vermutlich der Winkel \(180^\circ-112,48^\circ=67,52^\circ\) erwartet.

Comments

Kann man daraus auch den Punkt G_-2 (x;y;z) bestimmen?

Answer 3

g_k: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 12\\8\\10 \end{pmatrix} \)+r·\( \begin{pmatrix} 3k-12\\5k-8\\-16k-10 \end{pmatrix} \).

Richtungsvektor von g₁: \( \vec{u} \)=\( \begin{pmatrix} -9\\-3\\-26 \end{pmatrix} \)

Richtungsvektor von g_-2: \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} -18\\-18\\22 \end{pmatrix} \)

cos(ρ)=\( \frac{\vec{u}·\vec{v}}{|\vec{u}|·|\vec{v}|} \).

Comments

Kann man daraus auch den Punkt G_-2 (x;y;z) bestimmen?

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Selbst verständlich. Setze k= - 2, dann ist G_-2(-6|-10|32).