Extremwertproblem, ist die Funktion richtig

Question

Aufgabe:

Das Ziel ist es Q so zu wählen, dass die Fläche, die von der Y-Achse bis Q und g(x)

Bis x=2 eingeschlossen wird, maximal ist.

Problem/Ansatz:

Man stellt die Funktion A(u)=u*( |f(u)| + g(x) ) , die man dann bis x=1 benutzen kann, auf

Mit dieser Funktion hat man den Betrag von der Länge, die man durch f(u) bekommt

Und noch das zusätzliche Stück also g(x)

Und dann macht man noch die Funktion für nach x=1 aber dort ist die Fläche kleiner als

Die bis x=1 deshalb schreibe ich die nicht mehr auf.

Dann macht such man den Hochpunkt von A(u) und so weiter.

Ist die aufgestellte Funktion so richtig?)

Comments

Eigentlich muss nur das Integral von f(x) von Q bis 2 minimal werden.

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Ist die graue Fläche gemeint?

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Ich meine dieses Rechteck:
(0| f(2))
(0| f(0))
(u| f(2))
(u| f(u))

tut mir leid, das war wohl nicht ganz verständlich erklärt.

Answer 1

Hallo,

Du meinst wahrscheinlich, dass das achsenparallele Rechteck maximiert werden soll, dessen obere Seite durch \(g(x)=10e^{-2}\) gebildet wird und dessen unterer rechter Eckpunkt auf \(f\) liegt.

Ist die aufgestellte Funktion so richtig?

Nun - sie ist nicht falsch, wenn Du den Definitionsbereich auf \(x \in (0;1]\) eingrenzt. Gefälliger und allgemein gültiger ist$$A(u) = u \cdot (g(x) - f(x)), \quad 0 \lt x \le 2$$dann stört die Betragsfunktion schon mal nicht mehr.

Das Maximum für die Rechteckfläche liegt etwa bei $$(u,f(u)) \approx (0,485|\,-3,171)$$

~plot~ 10*(x-1)*e^(-x);x=2;[[-3|8|-6|2]];10/e^2;{0.485|-3.171};-2.194/x+10/e^2 ~plot~

Falls Du noch Fragen hast, wo melde Dich bitte.

Comments

Das stimmt, diese Funktion ist deutlich eleganter. Dankeschön.

Ich habe das gleiche Ergebnis raus mit meiner Funktion, jedoch ist der Flächeninhalt=2,19 FE

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.. jedoch ist der Flächeninhalt=2,19 FE

Warum 'jedoch'? habe ich doch auch! Siehe die pink-farbende Funktion oben im Plot. Sie zeigt die Kurve der Ecken aller Rechtecke mit \(F=2,194\,\text{FE}\). Der Berührpunkt mit \(f(x)\) (blau) ist das Maximum.

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Stimmt, ich habe den Punkt Q als die Fläche A missverstanden