Quotienten-Kriterium und Wurzel-Kriterium anwendbar oder nicht?

Question

Aufgabe:

Ich soll bei dieser Aufgabe überprüfen, ob zwei bestimmte Kriterien auf die folgende Reihe anwendbar sind. Dabei soll ich das genannte Verfahren verwenden und mit diesem die absolute Konvergenz der Reihe nachweisen oder begründen, warum dies mit dem Kriterium nicht möglich ist.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{2})}\)^{k+(-1)^k}

a) mit dem Quotienten-Kriterium

b) mit dem Wurzel-Kriterium

Ich bin gerade am verzweifeln, wie mache ich das am besten? :)

Answer 1

Aloha :)

Wegen der folgenden Umformung$$\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k+(-1)^k}\!\!\!=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{(-1)^k}\!\!\!<\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\!\!\cdot2=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\!\!\!=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$$reicht es die Konvergenz der geometrischen Reihe mit \(\frac{1}{2}\) zu zeigen.

a) Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}=\frac{1}{2}<1\quad\implies\quad\text{Konvergenz}$$

b) Wurzelkriterium:$$\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}=\frac{1}{2}<1\quad\implies\quad\text{Konvergenz}$$

Comments

Auf die Umformung bin ich nicht gekommen, besten Dank =)

Answer 2

Hallo,

die Antwort von T verfehlt die - mutmaßliche - Intention der Aufgabe. T verwendet zunächst das Majorantenkriterium, um die Aufgabe zu vereinfachen. Wendet man das QKriterium unmittelbar an, so

$$\left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|=\left(\frac{1}{2} \right)^x \text{  mit } x=k+1+(-1)^{k+1}-k-(-1)^k=1-2(-1)^k$$

Wenn also k gerade ist, ergibt der Quotient 2. Das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar.

Das Wurzelkriterium liefert aber eine Konvergenzaussage.

D.h. die mutmaßliche Intention der Aufgabe ist der Hinweis, dass das Wurzelkriterium in einem gewissen Sinn stärker als das Quotientenkriterium ist.

Gruß Mathhilf