Basis eines Untervektorraums mit Bedingung bestimmen.

Question

Aufgabe:

Habe einen Untervektorraum in ℝ4 gegeben mit:

U = {\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ | x₁ + 3x₂ + 2x₄ = 2x₁ + x₂ + x₃ = 0}

Nun will ich eine Basis davon bestimmen.

Problem/Ansatz:

Kleine Anmerkung: Wir hatten noch keine Matrizen und kenne auch keine Matrix. Also am besten eine Lösung ohne diese. Danke

Answer 1

Sei \(v=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\in U\) Dann gilt lt. Voraussetzung

   (1)  \(x_3=-2x_1-x_2\)
   (2)  \(x_4=-\tfrac12x_1-\tfrac32x_2\)

und damit

\(v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-2x_1-x_2\\-\tfrac12x_1-\tfrac32x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\-\tfrac12\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-\tfrac32\end{pmatrix}\).

Der Vektor \(v\) lässt sich also als Linearkombination zweier linear unabhängigen Vektoren beschreiben. Letztere bilden demnach eine Basis für \(U\) und es ist \(\dim U=2\).