Berechne die Zinssätze, die Sandro und Jessica fuer ihre Geldanlagen bekommen haben.

Question

Aufgabe

Sandro legt 2000€ zu einem festen Zinssatz pro Jahr an. Nach 3 Jahren beträgt sein Kapital 2128, 66€. Jessica legt zum selben Zeitpunkt 1000€ an. Sie hat nach 3 Jahren 1131,66 Euro auf ihrem Konto. Beide heben zwischenzeitlich nichts ab.

a) Berechne die Zinssätze, die Sandro und Jessica fuer ihre Geldanlagen bekommen haben.

b) Untersuche, wer nach 20 Jahren mehr Geld auf dem Sparbuch hat. Die Zinssätze bleiben jeweils unverändert. Zwischendurch wird weiterhin kein Geld abgehoben.

c) Bestimme das Jahr, in dem das Kapital von Jessica das Kapital von Sandro uebersteigt.

Koente bitte jemand das loesen, weil ich verstehe das nicht. Waere sehr nett.

Dankeschoen.

Answer 1

Hallo Mattihas, herzlich willkommen in der Mathelounge.

Für die Zinseszinsrechnung gilt u.a. diese Formel: \(K_n=K_0\cdot q^n\)

mit Kn = Endkapital

K0 = Startkapital

q = Zinsfaktor

n = Anzahl der Jahre

Sandro legt 2000€ zu einem festen Zinssatz pro Jahr an. Nach 3 Jahren beträgt sein Kapital 2128, 66€

q ist zu berechnen, also setze die anderen Werte in die Formel ein und löse nach q auf:

\(2.128=2.000\cdot q^3\)

[spoiler]

\(2.128=2.000\cdot q^3\\ 1,064=q^3\\ 1,021=q\\ \text{Daher lautet die Gleichung }K_n=2.000\cdot 1,021^n\)

[/spoiler]

Den Zinsfaktor für Jessica berechnest du auf die gleiche Weise.

b) Untersuche, wer nach 20 Jahren mehr Geld auf dem Sparbuch hat. Die Zinssätze bleiben jeweils unverändert. Zwischendurch wird weiterhin kein Geld abgehoben.

Setze in die Gleichungen für n "20" ein.

c) Bestimme das Jahr, in dem das Kapital von Jessica das Kapital von Sandro uebersteigt.

Löse die Ungleichung \(2.000\cdot 1,021^n<1.000\cdot 1,042^n\)

Du kannst dich gerne melden, falls du noch Fragen hast oder Hlfe brauchst.

Gruß, Silvia

Comments

koennten sie bitte die Lösung schreiben denn es ist fuer eine Klassenarbeit ich musss das verstehen

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Wenn du das wirklich verstehen willst, bringen dir Lösungen erst etwas, wenn du eigene Versuche startest.

Wo liegt dein Problem, wenn du die Gleichung

\(2.128=2.000\cdot q^3\\\)

nach q auflösen sollst?

(Der Wille, etwas verstehen zu wollen, erwächst in einem selbst, nicht danach auf dem Boden einer darauf angepassten Antwort - (Anton))

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ich weiß nicht genau wie ich bei a) f[r jessica den zinssatz berechnen soll

un b) und c) verstehe ich auch nicht ganz

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Hast du diesen Rechenweg verstanden?

\(2.128=2.000\cdot q^3\quad |:2.000\\ 1,064=q^3\quad |\text{dritte Wurzel ziehen}\\ 1,021=q\\ \)

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ja in gewisserweise schon, aber fuer jessica versteh ich das nicht

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Dann schau mal genauer hin:

Das ist dasselbe in Grün, nur mit anderen Zahlen:

\(1.131,66=1.000\cdot q^3\)

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danke aufgabe a) habe ich jetzt geloest

k;nntest du mir auch bei b) und c) helfen

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b) Untersuche, wer nach 20 Jahren mehr Geld auf dem Sparbuch hat. Die Zinssätze bleiben jeweils unverändert. Zwischendurch wird weiterhin kein Geld abgehoben.

Du hast jetzt zwei Gleichungen (und ich hoffe, sie stimmen mit diesen überein):

\(K_n=2.000\cdot 1,021^n\\K_n=1.000\cdot 1,042^n\)

Wie berechnest du also jetzt das jeweilige Kapital nach n = 20 Jahren?

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soll ich die einfach multiplizieren oder geht das anders

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Du willst den Kapitalertrag von beiden nach 20 Jahren vergleichen.

Wieviel Euro hat Sandro nach 20 Jahren, wenn du für n "20" in die Gleichung einsetzt, also

\(K_n=2.000\cdot 1,021^{20}\)

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also hat sandro nach 20 jahren mehr geld auf sein sparbuch, als jessica.

ist das richtig habe gerade gerechnet

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Ja, das ist richtig. Jetzt brauchst du nur noch die Ungleichung

\(2.000\cdot 1,021^n<1.000\cdot 1,042^n\)

zu lösen.

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sind sie sicher, weil in der aufgabe c steht: "bestimme das jahr in dem das kapital von jessica das kapital von sandro übersteigt".

Das heist doch das eig bei aufgabe b jessica mehr auf dem sparbuch hat oder?

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Aufgabe b) hatte diese/deine/richtige Lösung:

also hat sandro nach 20 jahren mehr geld auf sein sparbuch, als jessica

Das bedeutet aber nicht, dass Jessica nicht irgendwann mehr Geld auf dem Sparbuch hat als Sandro. Diesen Zeitpunkt gilt es zu bestimmen.

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sie sind mir wirklich eine grose hilfe ehrlich.

ich habe nur noch eine frage die wäre bei der aufgabe c wie ich das machen kann oder wie die lösung lautet, denn den ansatz haben sie mir ja schon gegeben

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könnte mir jemand helfen

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\(2.000\cdot 1,021^n<1.000\cdot 1,042^n\quad |:1.000\\ 2\cdot 1,021^n<1,042^n\quad |:1,021^n\\ 2<\frac{1,042^n}{1,021^n}\\\)

Jetzt kommt das Potenzgesetz \(\frac{a^n}{b^n}=\big(\frac{a}b{\big)^n}\) ins Spiel:

\(2<\bigg(\frac{1,042}{1,021}\bigg)^n\\ 2<1,02057^n\)

Ich weiß nicht, welchen Taschenrechner du hast, aber das kannst du sicherlich eingeben:

\(\frac{log(2)}{log(1,02057)}<n\\34,04<n\)

Nach etwas mehr als 34 Jahren hat Jessica mehr Geld auf dem Konto als Sandro.

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vielen dank für die hilfe

sie konnten mir wirklich weiterb helfen

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Das freut mich. Viel Erfolg mit deinen weiteren Aufgaben. Wenn du nochmal Probleme hast: Du weißt, wo du uns findest ;-)