Aloha :)
Der 0-te Halbkreis hat den Druchmesser \(d_0=2\)
Der 1-te Halbkreis hat den Durchmesser \(d_1=2\cdot\frac{3}{4}\)
Der 2-te Halbkreis hat den Durchmesser \(d_2=2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\)
Der n-te Halbkreis hat den Druchmesser \(d_n=2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^n\)
Wir addieren den Umfang von Halbkreisen. Der \(n\)-te Kreis hat den Umfang \(\pi\cdot d_n\), also hat der \(n\)-te Halbkreis den Umfang \(\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot d_n\). Wir müssen unendlich viele dieser Umfänge addieren, um die Länge \(L\) der Spirale zu ermitteln:$$L=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2}\,\pi\,d_n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2}\,\pi\,\cdot2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^n=\pi\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{4}\right)^n$$Wir erkennen in der Summe die geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\), deren Grenzwert für \(|q|<1\) existiert. Mit \(q=\frac{3}{4}\) heißt das für unsere Länge:$$L=\pi\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\pi\cdot\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\pi$$
Obwohl wir unendlich viele solcher Halbkreise addieren, ist deren Länge \(L=4\pi\) endlich.
