Beweisen Sie, dass f genau dann konvex ist, wenn g konvex ist.

Question

Aufgabe:

Sei $f:\mathbb{R}^n\rightarrow(-\infty,\infty]$ eine Funktion. Beweisen Sie, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ die Funktion $g(\lambda)=f(x+\lambda(y-x)),\lambda\in\mathbb{R}$ konvex ist.

Problem/Ansatz:

Definition: Eine Funktion $f:\mathbb{R}^n\rightarrow(-\infty,\infty]$ heißt konvex, wenn $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ und $\lambda\in[0,1]$ gilt.

Weiterhin weiß ich, dass das Supremum einer beliebigen Familie konvexer Funktionen, $f+g$ und $\alpha f$ konvex ist. Die Jensensche Ungleichung ist bekannt und ebenfalls, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn der Epigraph von $f$ definiert durch $\text{epi}f=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}:f(x)\leq\xi\}$ eine konvexe Teilmenge von $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}$ ist.

Ich weiß aber nicht, wie mir die ganzen Sachen bei der Aufgabe helfen, da jetzt $\lambda\in\mathbb{R}$ ist und nicht nur auf $[0,1]$ beschränkt ist. Ich würde mich zunächst über einen Ansatz für beide Richtungen freuen.

Answer 1

Hallo,

g ist konvex, wenn

$$\forall a,b \in \mathbb{R}: \forall t \in [0,1]: g((1-t)a+tb)\leq (1-t)g(a)+tg(b)$$

Jetzt ist

$$g((1-t)a+tb)=f[x+((1-t)a+tb)(y-x)]=f((1-t)(x+a(y-x))+t(x+b(y-x)]$$

Wenn f konvex ist, geht es weiter:

$$\leq (1-t)f(x+a(y-x))+tf(x+b(y-x))=(1-t)g(a)+tg(b)$$

Gruß Mathhilf

Comments

Danke, das hat mir sehr geholfen.