Aloha :)
a) Beim ersten Teil hilft uns der bekannte Grenzwert für \(e^x\) weiter:
$$a_n=\left(\frac{n-3}{n+2}\right)^{2n+5}=\left(\frac{n+2-5}{n+2}\right)^{2n+5}=\left(\frac{n+2}{n+2}-\frac{5}{n+2}\right)^{2n+5}$$$$\phantom{a_n}=\left(1-\frac{10}{2n+4}\right)^{2n+5}=\left(1-\frac{10}{2n+4}\right)^{2n+4}\cdot\left(1-\frac{10}{2n+4}\right)$$
Wegen \(\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^k=e^x\) ist:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\left(\left(1-\frac{10}{k}\right)^{k}\cdot\left(1-\frac{10}{k}\right)\right)=e^{-10}\cdot1=\frac{1}{e^{10}}$$
b) Hier machen wir eine kleine Sandwich-Abschätzung:$$b_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$$Ein Bruch wird kleiner, wenn wir seinen Nenner vergrößern und er wird größer, wenn wir seinen Nenner verkleinern:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2}}$$Wir erkennen nun, dass links und rechts \(n\)-mal derselbe Summand addiert wird:$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le\frac{n}{\sqrt{n^2}}$$Wir kürzen links und rechts mit \(n\)$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\le\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le1$$Damit ist:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\le\lim\limits_{n\to\infty}b_n\le1\quad\implies\quad 1\le\lim\limits_{n\to\infty}b_n\le1\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}b_n=1$$
