zu Beweisen: sin(z)=1/2i*(exp(iz)-exp(-iz)), für absolut konvergente Reihen sin(z) und cos(z)

Question

Aufgabe:

Es sind folgende, für alle $z\in\mathbb{C}$ absolut konvergente Reihen gegeben:

$sin(z):=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

und

$cos(z):=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}$

Folgende Identitäten, müssen für alle $z,w\in\mathbb{C}$, bewiesen werden:

$sin(z)=\frac{1}{2i}(exp(iz)-exp(-iz))$

und

$cos(z)=\frac{1}{2}(exp(iz)+exp(-iz))$

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe führten verschiedene Versuche von mir in Sackgassen, vielleicht hat hier jem. ne Idee und könnte einen Ansatz geben? Vielen Dank, schon im Voraus.

Comments

Hallo,

Du brauchst nur die Reihen für die rechte Seite mit Hilfe der Grund-Reihe für die Exponentialfunktion aufstellen und addieren bzw. subtrahieren.

Gruß Mathhilf

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Das leuchtet ein.. Vielen Dank!

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Also ich habs grad mal versucht.. bin aber leider nicht so weit gekommen:

$\frac{1}{2i}(exp(iz)-exp(-iz))$

$=...$

$=\frac{1}{2i}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(iz)^k}{k!}-\frac{(-iz)^k}{k!})$

$=\frac{1}{2i}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k(i^k-(-i)^k)}{k!})$

$=?$

Was übersehe ich hier?

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Was übersehe ich hier?

Einfach weitermachen: $(iz)^k=i^kz^k$, $(-ik)^k=(-1)^ki^kz^k$.

Dann die Fälle k gerade / ungerade abarbeiten.

Dann die Potenzen  $i^k$ untersuchen

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank!