Matrixmultiplikation mit Variablen

Question

Aufgabe:

Es sei M = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) mit a, b, c, d ∈ lR

a) Es gelte ad-bc ≠ 0 und es sei X = \( \frac{1}{ad-bc} \) * \( \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Berechnen sie die Matrixmultiplikation MX und XM. Ist M invertierbar?

b) ad-bc = 0. Ist M invertierbar?
Problem/Ansatz:

Eine n x n Matrix A heißt invertierbar wenn es eine Matrix mit AX = XA = I gibt X = A^-1 wird als Inverse von A bezeichnet.

Das Problem is, dass der Bruch in Kombination mit der Matrix mich voll ausm Konzept bringt und ad-bc ungleich 0 aber dann gleich 0 macht mich auf etwas Kirre.

ich hätte jetzt einfach die Matrix ausgerechnet und den Bruch ausgeklammert also quasi so:

MX = \( \frac{1}{ad-bc} \) *  \( \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ba \\ cd-dc & -db+da \end{pmatrix} \)

weiß jetzt aber nicht ob sich -ab+ba aufheben und das 0 ergibt z.B.

Answer 1

Das hebt sich auf

-ab + ba = 0

aber auch

cd - dc = 0

und ich denke das Element rechts unten ist verkehrt berechnet.

MX = [a, b; c, d]·1/(ad - bc)·[d, -b; -c, a]
= 1/(ad - bc)·[a, b; c, d]·[d, -b; -c, a]
= 1/(ad - bc)·[ad - bc, 0; 0, ad - bc]
= [1, 0; 0, 1]

Comments

MX = \( \frac{1}{ad-bc} \) * \( \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -cb+da \end{pmatrix} \)

XM =  \( \frac{1}{ad-bc} \) * \( \begin{pmatrix} da-bc & 0 \\ 0 & -cb+ad \end{pmatrix} \)

gut dann müsste das theoretisch so aussehen

und dementsprechend ist MX = XM die inverse ? aber was mit dem Bruch? und was ist mir der Regelung ad-bc ≠ 0 und ad-bc = 0

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da - bc = ad - bc

und was ist dann

(ad - bc) / (ad - bc)

das ist jetzt einfach 1. Achtung im Nenner darf keine Null stehen. das ist die Bedingung ad - bc ≠ 0

Und X ist dann einfach die Inverse zu M also ist M dann invertierbar, wenn gilt ad - bc ≠ 0

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achso, weil wenn ad-bc = 0 wäre hätten wir 0 und keine 1 und dann is 0 auch nich invertierbar?