Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll
y=f(x)=x³-1*x abgeleitet
f´(x)=3*x²-1
xo=-1
f(xo)=f(-1)=(-1)³-1*(-1)=-1+1=0
f´(xo)=f´(-1)=3*(-1)²-1=3-1=2
ft(x)=2*(x-(-1))+0=2*x+2
yt=ft(x)=2*x+2
Infos
Text erkannt:
Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleichung an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale liegen soll, vird oft \( m t \)
d. bexelehnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{4} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/sormale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). erg1bt yt=ft \( (x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und glefchgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
also \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln ^{*} x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / \mathrm{m} 1 \) hier ist \( \mathrm{m} 1=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{xo}) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}(x 0) * x+f(x 0)+1 / f^{\prime}(x 0)^{*} x 0=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Stelle \( x_{0}=2 \) Lósung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \) \( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4^{4} x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)
~plot~x^3-1*x;2*x+2;[[-2|2,5|-10|10]];x=-1~plot~