Problem bei Differentialrechnung

Question

Gegebe ist folgendes Bsp: Vom Punkt = (-1|y) der Parabel mit der Gleichung y= x hoch 3 - x ist eine Tangente zu legen, die diese Parabel in einem anderen Punkt berührt. Wie lautet die Tangentengleichung.

Bei mir ist folgendes herausgekommen, stimmt das?

Fehler: Dateityp „HEIC“ ist nicht erlaubt.

Text erkannt:

5. \( P=(-1 \mid y) \quad y=x^{3}-x \quad-2=2 \cdot-1+4 \)
\( \begin{array}{ll}y=-1-1 \quad P(-1 \mid-2) & 0=d \\ y=-2 & y=2 \cdot x+0 \\ 3 x^{2}-1 & y=2 \cdot-1+0 \\ 3 \cdot-1^{2}-1 & y=-2 \\ l^{\prime}(x)=3-1 & = \\ k=2\end{array} \)

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Vom Punkt = (-1|y) der Parabel mit der Gleichung y= x hoch 3 - x ist eine Tangente zu legen, die diese Parabel in einem anderen Punkt berührt. Wie lautet die Tangentengleichung.

Hallo,

die Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt.

Wenn die gesuchte Gerade eine Tangente im Punkt (-1|0) ist, schneidet sie die Kurve in einem anderen Punkt, berührt sie dort also nicht.

Wenn die Gerade in dem anderen Punkt die Kurve berührt, ist sie in (-1|0) keine Tangente.

Answer 1

Gegeben ist folgendes Bsp: Vom Punkt = (-1|y) der Parabel mit der Gleichung y= x hoch 3 - x ist eine Tangente zu legen, die diese Parabel in einem anderen Punkt berührt. Wie lautet die Tangentengleichung?

y= x^3 - x     P(-1|0)

y´= 3x^2 -1

\( \frac{y-0}{x+1} \)=3\( x^{2} \) -1

y=3\( x^{3} \)-x+3x^2-1

x^3 - x=3\( x^{3} \)-x+3x^2-1

x^3 =3\( x^{3} \)+3x^2-1

2\( x^{3} \)+3x^2-1=0

x₁=-1  →   y₁= 0   ist   P(-1|0)

Polynomdivision ergibt x₂=0,5    → y₂=0,125 - 0,5=-0,375

Nun die Tangente aufstellen.

Comments

Danke für die Lösung, ich verstehs aber wirklich nicht so gut.

Answer 2

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

y=f(x)=x³-1*x abgeleitet

f´(x)=3*x²-1

xo=-1

f(xo)=f(-1)=(-1)³-1*(-1)=-1+1=0

f´(xo)=f´(-1)=3*(-1)²-1=3-1=2

ft(x)=2*(x-(-1))+0=2*x+2

yt=ft(x)=2*x+2

Infos

Text erkannt:

Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleichung an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale liegen soll, vird oft \( m t \)
d. bexelehnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{4} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/sormale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). erg1bt yt=ft \( (x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und glefchgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
also \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln ^{*} x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / \mathrm{m} 1 \) hier ist \( \mathrm{m} 1=\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{xo}) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}(x 0) * x+f(x 0)+1 / f^{\prime}(x 0)^{*} x 0=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Stelle \( x_{0}=2 \) Lósung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \) \( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4^{4} x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)

 ~plot~x^3-1*x;2*x+2;[[-2|2,5|-10|10]];x=-1~plot~

Comments

Ich kann deine Bider kaum erkennen.
Leuchte doch die Fotos mit mehreren
Leuchtquellen ( Lampen ) gut aus.
Die Blitzlichbeleuchtung bringt es nicht.

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Deine Tangente schneidet die Parabel in einem anderen Punkt. Sie soll sie aber in einem anderen Punkt berühren.