Was ist U_{1}+U_{2}+U_{3} (kurz ausgedrúckt)?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

13. Gegeben seien die folgenden drei UVRe (das muss nicht nachgeprüft werden) des \( \mathbb{R}^{3} \) :
\( U_{1}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{2}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{3}=\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \)
Was ist \( U_{1}+U_{2}+U_{3} \) (kurz ausgedrúckt)? Ist die Summe \( U_{1}+U_{2}+U_{3} \) eine direkte Summe?

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man diese Aufgabe?

Answer 1

Was ist \( U_{1}+U_{2}+U_{3} \) (kurz ausgedrúckt)?

\(\lambda\left(\begin{array}{l}5\\ 5 \\ 5\end{array}\right) \)

Oder was dachtest du?

Das ist dann übrigens \(5\cdot \lambda U_2\).

Einschränkung: Sollte es sich nicht jedes Mal um identische Lambda-Werte handeln, beschreibt die Summe Ortsvektoren aller Punkte einer Ebene im Raum.

Comments

Ich bräuchte das mit der direkten Summe. Das andere hab ich

---

Versteckt sich in deinen Aufzeichnungen /Skripten irgendwo eine Definition für "direkte Summe"?

---

Das habe ich auch gesucht jedoch versteh ich das nicht.

---

Es gilt \(U_1-4U_2+U_3=\vec{o}\)

---

Einschränkung: Sollte es sich nicht jedes Mal um identische Lambda-Werte handeln, beschreibt die Summe Ortsvektoren aller Punkte einer Ebene im Raum.

??? Die \( U_i \) sind Mengen.

---

??? Die \( U_i \) sind Mengen.

Ja. Sie sind Mengen von (Ortsvektoren von) Punkten im R³ bzw. sie können als solche interpretiert werden.

Im konkreten Fall sind es drei Ursprungsgeraden im Raum, die jedoch in einer gemeinsamen Ebene liegen.

---

Exakt. Und somit ist

$$ U_1 +U_2 + U_3 $$

die Ebene. Und nicht etwa ein Vektor. Die Frage ob die Summe direkt ist, ist damit auch beantwortet: Nein. Sonst müsste die UVR Summe Dimension 3 haben.

---

Und somit ist

Wenn du mit "somit" meinst, dass da nicht dreimal "λ" steht, sondern drei verschiedene Parameter λ1, λ2 und λ3 ...

---

Es ist doch total egal wie diese Variablen benannt werden? Da könnte auch

\( U_{1}=\left\{\lambda_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \mid \lambda_1\in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{2}=\left\{\lambda_2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda_2 \in \mathbb{R}\right\}, \quad U_{3}=\left\{\lambda_3\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \mid \lambda_3 \in \mathbb{R}\right\} \)

stehen, wenn dir das besser gefällt. Aber es ändert nichts.

---

Wenn da jemand schreibt: "Was ist λ*a+λ*b+λ*c" , dann ist es schon ein Unterschied, ob dreimal ein identisches λ oder ob verschiedene λ verwendet werden!

---

das hat aber niemand geschrieben?

$$ U_1 + U_1 + U_3 = \{ u+v+w ~|~ u\in U_1, v\in U_2, w\in U_3\} $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum#Summe