Koordinaten des Punktes bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte \( A(3|-3| 0), B(3|3| 0), C(-3|3| 0) \) und \( S(0|0| 4) \).
a) Das Viereck \( \mathrm{ABCD} \) ist ein Quadrat. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.
b) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden, die durch die Punkte \( A \) und \( B \) geht, und der Geraden, die durch die Punkte \( S \) und \( C \) geht.
c) Die Punkte \( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D} \) und \( \mathrm{S} \) sind die Ecken bzw. Spitze einer quadratischen Pyramide. Zeichnen Sie diese Pyramide in ein räumliches Koordinatensystem und berechnen Sie ihr Volumen.
d) Der Punkt \( M \) ist der Mittelpunkt der Strecke AS. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drei-
ecks ABM.

Answer 1

a) D(-3|-3|0)

b) Die Geraden verlaufen windschief.

c) V= 1/3 * 6*6*4

Answer 2

c) Mit dieser Skizze kannst du einiges lösen:

Answer 3

bei solchen Aufgaben immer eine Zeichnung machen.

Tipp:Benutze deinen Schreibtisch als x-y-z-Koordinatensystem

linke Tischkante ist die x-Achse

vordere Tischkante ist die y-Achse

einen Bleistift,den du senkrecht auf die linke-vordere-Tischkante stellst,ist die z-Achse

aus der Zeichnung

quadratische Grundfläche az=bz=cz=dz=0

Punkt B liegt gegenüber von Punkt A → ay=-3 → by=3 → Kantenlänge k=6 LE (Längeneinheiten)

Punkt D liegt gegenüber von A und C → dx=cx=-3  und dy=da=-3

D(-3/-3/0)

S(0/0/4) liegt über der Mitte der quadratischen Grundfläche mit sz=4 LE (Längeneinheiten)

Volumen der Pyramide V=Ag*h=6²*4=36*4=144 VE (Volumeneinheiten)

b) Geradengleichung im Raum g: x=a+r*m

A(3/-3/0) → Ortsvektor a(3/-3/0)

B(3/3/0) → Ortsvektor b(3/3/0)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

AB=m=(3/3/0)-(3/-3/0)=(0/6/0)

Gerade A → B g: x=(3/-3/0)+r*(0/6/0)

Gerade S → C h: x=(0/0/4)+s*(s-c)

m=s-c=(0/0/4)-(-3/3/0)=(3/-3/4)

h: x=(0/0/4)+s*(3/-3/4)

in die Zeichnung eingetragen g: und h: → man sieht g: und h: schneiden sich nicht

rechnerisch überprüfen g:=h:

x-Richtung: 1) ...

y-Richtung: 2) ...

z-Richtung: 3) ...

sind 3 Gleichungen 1),2) und 3) und 2 unbeknnte r=... und s=... → nicht lösbar → es gibt keine 2 Parameter r=..und s=.. die alle 3 Gleichungen erfüllen → Geraden g: und h: schneiden sich nicht → sind windschief

d) Fläche vom Dreieck über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a kreuz b=c

Betrag |c|=Wurzel(cx²+cy²+cz²)  ist die Fläche des Parallelogramms,dass von den beiden Vektoren a und b gebildet wird

Fläche des Dreiecks A=1/2 Betrag |AB kreuz AM|

Richtungsvektor von Punkt A nach Punkt B → AB=m=b-a

Richtungsvektor von Punkt A nach Punkt M → AM=1/2*(s-a)

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