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Ich weiß zB wie man die Darstellungsmatrix für R3 oder für R2x2 durch konkrete Matrizen als Formeln bestimmt, aber diese Formel p(x+1) und die Basis für Rn[x] verwirren mich.

Wie muss ich hier vorgehen?


Es seien \( n \in \mathbb{N} \) und \( T: \mathbb{R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{n}[x] \) die durch die Formel
$$ (T(p))(x)=p(x+1) $$
definierte lineare Abbildung. Finden Sie die Darstellungsmatrix von \( T \) bezüglich der üblichen Basis für \( \mathbb{R}_{n}[x] \).

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Hallo

die Standardbasis ist 1, x, x^2,...,x^n

die Bilder davon sind ja wähle einfach zu finden und damit die Spalten der gesuchten Matrix

die ersten 3 Spalten: (1,0,....,0)^T; (1,1,0,..,0)^T; (1,2,1,0...,0)^T

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Danke, wie viele Spalten hat die gesuchte Matrix dann?

Hallo

wieviel Basen hat denn Rn[X] , so weit solltest du schon selbst zählen können

lul

Ich denke unendlich, aber wie schreibe ich das denn auf?

Wie kommst du denn auf oo? setz mal n=3

lul

Für T(x³) erhalte ich dann x³+3x²+3x+1 oder?

Hallo

meine Frage war nach der Dimension vom R3[x} nachdem du die dim oo geschrieben hattest

lul

R3 hat die Dimension 3, aber wie hilft mir das jetzt weiter? LG

R3 hat dim 4

d,h, Rn hat dim n+1 und nicht oo

siehst du dass da die Binomialkoeffizeinten für (x+1)^k stehen?  jeweils in der (k+1)ten Spalte-

die gehören also in die Spalten der Matrix. damit kannst du aik schreiben, oder es mit Pünktchen in die Matrix schreiben.

lul

Wenn du auf die Dimension hinaus willst solltest du nach der Anzahl der BasisVEKTOREN und nicht nach der Anzahl der Basen fragen.

Der Fragesteller hat nämlich vollkommen recht: \( ℝ_n[x]\) hat unendlich viele Basen.

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