Funktion in Potenzreihe entwickeln. (arcsin)

Question

ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, hat jemand ein Ansatz ?

Entwickeln Sie die Funktion

f(x) = \( \frac{arcsin x}{x} \)

in eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0). (Hisweis: verwenden sie verallgemeinerte Binomialkoeffizienten und die Beziehung \( \frac{d}{dx} \) arcsin x = \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) ).

Geben Sie für die Koeffizienten vor xⁱ    für i = 0,1,2,3,4 als konkrete Zahl an.

Answer 1

Beachte den Hinweis und schließe$$\begin{aligned}\arcsin x&=\int_0^x\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt\\&=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^\infty\binom{-\tfrac12}n\left(-t^2\right)^n\right)\mathrm dt\\&=\sum_{n=0}^\infty\left(\int_0^x\binom{-\tfrac12}n(-1)^nt^{2n}\,\mathrm dt\right)\\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\binom{-\tfrac12}nx^{2n+1}.\end{aligned}$$Damit ist$$\begin{aligned}\frac{\arcsin x}x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\binom{-\tfrac12}nx^{2n}\\&=1+\frac16x^2+\frac3{40}x^4+\frac5{112}x^6+\frac{35}{1152}x^8+\cdots.\end{aligned}$$

Answer 2

Wie viele Glieder der Taylorreihe hast du schon ausgerechnet?