Bestimmung von Vektoren Orthogonal

Question

4 Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu \( \vec a\) und zu \( \vec b \) orthogonal sind.

a) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \)

b) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}5 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)  \)

c) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}4 \\ -1 \\ 5\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

verstehe nicht, wie ich das machen soll

Unknown: Link entfernt und Kommentar von MatHae eingefügt.

Comments

ihr müsste m ediafire schreiben dort steht ediafire

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bitte frage nicht löschen Support ich weiß nicht, wie man das hier als text schreibt

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Bitte erstelle deine Frage in Textform! Du kannst auch den LATEX-Assistent benutzen, um mathematische Ausdrücke hinzuschreiben:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

und dann in deine Frage mit einfügen.

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4 Bestimmen Sie alle Vektoren, die zu \( \vec a\) und zu \( \vec b \) orthogonal sind.

a) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \)

b) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}5 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)  \)

c) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{r}4 \\ -1 \\ 5\end{array}\right) \)

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danke dir kannst du mir auch dabei behilflich sein?

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@ Riddler: Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander?

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Wenn der Wert 0 ist

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Wenn der Wert 0 ist

Das ist nichtssagend.

Der Wert wovon?

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Wenn man zwei Vektoren miteinander multipliziert und der Wert am ende 0 ist, dann ist dort ein rechter Winkel vorhanden

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ICh weiß, dass man die Aufgabe mit dem LGS lösen muss, aber blicke trotzdem nicht durch

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Wenn man zwei Vektoren miteinander multipliziert und der Wert am ende 0 ist, dann ist dort ein rechter Winkel vorhanden

Ja.

ICh weiß, dass man die Aufgabe mit dem LGS lösen muss, aber blicke trotzdem nicht durch

Verstehst du denn, warum du hier ein LGS lösen musst?

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Wir müssen ja die Vektoren erst bestimmen aus diesem grund muss man den LGS anwenden

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Wir müssen ja die Vektoren erst bestimmen aus diesem grund muss man den LGS anwenden

Ja, genau. Aber wo liegt das Problem, so einen Vektor zu bestimmen?

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Man muss erst ein LGS aufstellen und die Gleichung nach der gesuchten Variable umformen und dann einsetzen

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Man muss erst ein LGS aufstellen und die Gleichung nach der gesuchten Variable umformen und dann einsetzen

Schreib es doch mal bitte hin, was du ausrechnen willst.

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1x1+2x2=0  x1=-2x2

2x1=0

2*(-2x2)=0

x2=0

3x1+3x2=0

3x1+3*0=0

x1=0

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Über welchen Vektor sprichst du hier?

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a) MEINE ICH

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sry wollte nicht alles groß schreiben

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Gewöhne dir bitte an, Rechenwege strukturiert aufzuschreiben. Dein Rechenweg ist schlecht nachvollziehbar zu lesen, vorallem weil du nicht sagst, was du berechnen willst.

Du suchst ja nur einen Vektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\), welcher orthogonal zu beiden Vekoren

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \)

ist. Es soll also gelten:

\(0=\vec{v}\cdot \vec{a}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3\\[10pt] 0=\vec{v}\cdot \vec{b}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)=2\cdot x_1+0\cdot x_2+3\cdot x_3\).

Löse also dieses LGS

\(0=1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3\\[10pt] 0=2\cdot x_1+0\cdot x_2+3\cdot x_3\).

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habe vektor v= (-1,5x3/-0,75x3/0)

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Du kannst \(x_3\) ausklammern und erhältst so den Lösungsvektor \( x_3\cdot \begin{pmatrix}-1,5\\-0,75\\0 \end{pmatrix} \)

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Dann mach doch mal eine Probe, indem du jetzt diesen Vektor mit den anderen beiden skalarmultiplizierst. Was stellst du fest?

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mit was soll ich das denn multiplizieren ?

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Rechne das aus:

\(\vec{v}\cdot \vec{a}\)

\(\vec{v}\cdot \vec{b}\)

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da kommt 0 raus

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und einmal 3

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Beides ist falsch und dein berechneter Vektor stimmt auch nicht. Bei der Probe bekomme ich:

\(\vec{v}\cdot \vec{a}=x_3\cdot \begin{pmatrix}-1,5\\-0,75\\0 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=-3x_3\)

und

\(\vec{v}\cdot \vec{b}=x_3\cdot \begin{pmatrix}-1,5\\-0,75\\0 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)=-3x_3\)

Löse LGS (richtig):

\(I\quad 0=1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3\\[5pt]II\quad 0=2\cdot x_1+0\cdot x_2+3\cdot x_3\\\stackrel{II-I}{\Longrightarrow} \quad 0=x_1-2x_2 \Leftrightarrow x_1=2x_2\quad (*)\\\stackrel{(*) \text{ in }II}{\Longrightarrow}\quad 0=4x_2+3x_3\Leftrightarrow x_3=-\frac{4}{3}x_2\\[10pt]\vec{v}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2\\x_2\\-\frac{4}{3}x_2 \end{pmatrix}=x_2\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-\frac{4}{3} \end{pmatrix}=3\cdot x_2\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\-4 \end{pmatrix}\\=\lambda \cdot \begin{pmatrix}6\\3\\-4 \end{pmatrix}\).

Probe ergibt:

\(\vec{v}\cdot \vec{a}=\lambda \cdot \begin{pmatrix}6\\3\\-4 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=\lambda\cdot (6+6-12)=0\)
und
\(\vec{v}\cdot \vec{b}=\lambda \cdot \begin{pmatrix}6\\3\\-4 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)=\lambda\cdot (12+0-12)=0\)

Answer 1

Wenn man zwei Vektoren miteinander multipliziert und der Wert am ende 0 ist, dann ist dort ein rechter Winkel vorhanden

Du eierst immer noch rum. Das, was du "der Wert" nennst, heißt Skalarprodukt. Es gibt außerdem noch das sogenennte "Vektorprodukt". Wenn ihr das schon kennengelernt haben solltest, brauchst du kein Gleichungssystem.

Comments

Das Wort ist mir in dem Fall nicht eingefallen