Bestimme die Parameter a und b so, dass 4 und -4 Eigenwerte der Matrix M sind.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Parameter a und b so, dass 4 und -4 Eigenwerte der Matrix M sind.
M=

a	2	0
b	0	0
0	0	3

a=?

b=?

Wie kommt man auf die Parameter?

    

Answer 1

Aloha :)

Das charakteristische Polynom wird für die Eigenwerte \(\lambda\) zu Null:

$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}a-\lambda & 2 & 0\\b & 0-\lambda & 0\\0 & 0 & 3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)((a-\lambda)(0-\lambda)-2b)=(3-\lambda)(\lambda^2-a\lambda-2b)$$Für \(a=0\) und \(b=8\) wird die zweite Klammer zu \((\lambda^2-16)=(\lambda-4)(\lambda+4)\).

Also hat für \(a=0\) und \(b=8\) die Matrix die Eigenwerte \(\pm4\) und noch den Eigenwert \(3\), aber nach dem war ja nicht gefragt.

Answer 2

Man bestimmt die Nullstellen des charakterisitischen Polynoms. Dann wählt man die Parameter \(a\) und \(b\) in den Nullstellen so, dass die Nullstellen 4 und -4 sind.

Comments

Und wie komme ich auf die Nullstellen :/

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Das charakteristische Polynom gleich Null setzen und die Gleichung lösen.