Partielle Ableitung von 1/2 *e^{x/2} * ((x+y²) + e^{x/2})

Question

Ich muss folgende Funktion ableiten:

$$ y = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { x } { 2 } } * \left( x + y ^ { 2 } \right) + e ^ { \frac { x } { 2 } } $$

Ansatz:

$$ \begin{array} { l } { u ( x ) = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { x } { 2 } } } \\ { u ( x ) = \frac { 1 } { 4 } e ^ { \frac { x } { 2 } } } \\ { v ( x ) = \left( x + y ^ { 2 } \right) + e ^ { \frac { x } { 2 } } } \\ { v ( x ) = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { x } { 2 } } + 1 } \end{array} $$

Wie fasse ich das denn jetzt zusammen? Oder habe ich falsch abgeleitet?

Nachtrag: Aber wie würde man denn  z(x, y) = e^x/2 *(x+y^2) jeweils nach x und y zweimal ableiten?

Comments

Wenn du links und rechts y hast, kannst du da nicht einfach drauf los ableiten.

mE muss zuerst y auf eine Seite der Gleichung gebracht und isoliert werden.

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Wieso das denn?

Das habe ich noch nie gemacht.

Die Aufgabenstellung war von Anfang an:

Partielle Ableitung nach x/y:

z(x/y) = e^x/2 *(x+y^2)

Dann habe ich das 1. mal abgeleitet und jetzt muss ich noch das 2. mal ableiten, weil ich noch das Minimum und Maximum der Funktion bestimmen soll.

Die 1. Ableitung habe ich ja mit der Produktregel auch richtig abgeleitet, ohne y vorher zu isolieren und das Ergebnis hat ja auch gepasst!

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Wenn du eine partielle Ableitung brauchst, kann ich das nicht beurteilen.

Für mich sieht es so aus, wie wenn du die Produktregel anwenden würdest. Der zweite Summand in v gehört aber nicht zum Faktor, wenn da Punkt- vor Strichrechnung gilt.

Soll ich die Überschrift auf Partielle Ableitung… umwandeln?

Ich könnte im Titel gleichzeitig eine Klammer um die Summe ergänzen.

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Ja, bitte!

 

Aber wie würde man denn 

z(x/y) = e^x/2 *(x+y^2)

jeweils nach x und y zweimal ableiten. Ich verstehe das nicht!

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Ich hab jetzt da mal die vorgeschlagenen Änderungen in der Frage ergänzt.

Hab noch eine Verständnisfrage zu x/y: Kann man z(x/y) = e^x/2 *(x+y^2)

 

auch als: z(x,y) = e^x/2 *(x+y^2) schreiben und nach x , y ableiten oder ist das etwas anderes?

 

Vielleicht kannst du nämlich einfach z'  schreiben anstelle von y und z' ' anstelle von y'.

 

 

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Ja, klar. sorry ich habe da anstatt des Kommas einen Diagonalstrich gesetzt! Mein Fehler!

Answer 1

z(x, y) = e^{x/2}·(x + y^2)

Ableiten nach x über Produktregel.

z'(x) = 1/2·e^{x/2}·(x + y^2) + e^{x/2}·1 = 1/2·e^{x/2}·(x + y^2 + 2)
z''(x) = 1/4·e^{x/2}·(x + y^2 + 2) + 1/2·e^{x/2}·1 = 1/4·e^{x/2}·(x + y^2 + 4)

Ableiten nach y ist noch einfacher, weil e^{x/2} ein konstanter Faktor und x als Summand wegfällt.

z'(y) = 2·y·e^{x/2}
z''(y) = 2·e^{x/2}

 

Answer 2

Wie ich das aus den Kommentaren herauslese, soll hier ein Extremwertproblem im Mehrdimensionalen gelöst werden: das ist relativ schwierig.
Das liegt daran, dass die erste Ableitung einer Funktion von n Variablen einen nx1-Matrix, die zweite Ableitung schon eine nxn-Matrix ist. Relativ leicht ist also noch die notwendige Bedingung f'(x) = 0 zu prüfen. Die hinreichende Bedingung f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 führt hier auf das relativ komplizierte Problem der Definitheit einer Matrix im Allgemeinen sogar der Definitheit einer Matrix auf einem Unterraum.

Ich möchte einfach mal die stationären Punkte ausrechnen (also f'(x) = 0) und für den Rest eine Lösungsskizze geben. Es gibt da einfach verschiedene Verfahren und ich kann nicht erraten, auf welche Art das gelöst werden soll.

 

Die Ableitung f'(x,y) ist ein Vektor mit zwei Einträgen, nämlich ∂_x f und ∂_y f. Für diese beiden partiellen Ableitungen hält man jeweils die andere Variable fest und differenziert nach der angegebenen:

∂_x f = 1/4 e^x/2*(x+y²)  + 1/2 e^x/2 + 1/2 e^x/2 = 1/4 e^x/2 * (4+x+y²)

∂_y f = 1/2 e^x/2*2y = y e^x/2

Die Ableitung lautet also:

f'(x,y) = e^x/2 * (4+x+y², y)

Sämtliche möglichen Extrempunkte liegen also auf der y-Achse, damit die zweite Koordinate 0 wird. Das ist eine sehr angenehme Situation, denn so lässt sich vermutlich eine Aussage über die Art der stationären Punkte (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) treffen. Mal schauen.

Weiter stellen wir fest, dass es nur einen einzigen möglichen Extrempunkt gibt, nämlich bei x=-1. Die einzige stationäre Stelle ist als

(x, y) = (-4, 0)

Um zu überprüfen, um was für einen Punkt es sich handelt muss nun wie gesagt eigentlich die Definitheit der sogenannten Hesse-Matrix in diesem Punkt untersucht werden.

Die Hesse-Matrix ist die Matrix der zweiten Ableitungen, also

               ( ∂_x ∂_x f       ∂_x ∂_y f)
H_f(x,y) = (                            )
               ( ∂_y ∂_x f      ∂y ∂_y f)

und Definitheit ist folgendermaßen definiert:
Eine Matrix A heißt positiv definit auf einem Vektorraum V, wenn gilt:
(A*v)*v > 0
für alle Vektoren v aus V.

Entsprechend heißt sie negativ definit, wenn dieses Produkt immer kleiner ist als 0. Sie heißt indefinit, wenn das Produkt für wenigstens einen Vektor 0 ergibt.

Und analog zur Extremwertrechnung im Eindimensionalen liegt ein Tiefpunkt vor, wenn die Hesse-Matrix positiv definit ist und ein Hochpunkt, wenn sie negativ definit ist. Ist sie indefinit, kann keine Aussage getroffen werden.

 

Wie gesagt ist dieses Verfahren aber relativ kompliziert auszurechnen, weil man zeigen muss, dass die entsprechende Eigenschaft für alle Vektoren des ℝ² erfüllt sein muss.

Sinnvoller ist hier das folgende Argument:

Die Funktion geht unabhängig von y für x gegen Unendlich gegen Unendlich, und für x gegen -Unendlich gegen 0. Außerdem besitzt sie für jedes y eine Nullstelle in x, diese liegt bei x = -y²-2.
Die Funktion kommt also aus dem positiv Unendlichen, besitzt dann eine Nullstelle und geht dann von unten gegen 0. Sie ist aber nach unten beschränkt, stetig und auf einer offenen Menge definiert: das heißt, sie nimmt ihr Minimum an. ⇒ (-4, 0) ist eine Minimalstelle der Funktion mit dem Funktionswert:
f(-4, 0) = -1/e²