zeigen, dass Familie B eine Basis von V ist.

Question

Aufgabe:

Es ist \(V = \mathbb{R}[X]_{\leq 3}\) der Vektorraum der Polynome vom Grad \(\leq 3\) über \(\mathbb{R}\).

Zeigen Sie, dass

\(B = (X^3 − X^2 + 3, X^3 − 2X^2 + 2X − 1, X^3 − 1, X^3 − 2X + 5)\)

eine Basis von \(V\) ist.

Problem/Ansatz:

Da ich die Dimension des Vektorraums kenne, sollte es ja ausreichen, einfach zu zeigen, dass die 4 Polynome linear unabhängig sind?

(also Polynome als Vektoren schreiben, zeigen dass jede Kombination von 2 Vektoren nicht linear abhängig ist und fertig.)

Das scheint mir etwas zu simpel, vergesse ich dabei irgendwas?

Comments

also polynome als vektoren schreiben, zeigen dass jede kombination von 2 vektoren nicht linear abhängig ist und fertig.)

Das zeigt nicht deren lineare Unabhängigkeit. Du könntest beispielsweise

a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 = 0

=> a1=a2=a3=a4=0

Oder det (v1,v2,v3,v4)≠0 zeigen.

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Hallo

indem du die Polynom als Zahlentupel schreibst benutzt du ja eine Basis, wahrscheinlich die 1,x,x^2,x^3.

Ob das so gemeint ist, kann ich nicht beurteilen, zumindest muss man  beim Aufstellen die Tatsache vermerkend benutzen : wenn 4 Vektoren in einer beliebigen Basis unabhängig sind , kann man sie als neue Basis verwenden. Man könnte auch einfach die Basiswechselmatrix aufstellen.

je 2 unabhängig reicht natürlich nicht, denn z.B kann die Summe von zweien einen dritten ergeben, du musst schon alle 4 als linear unabhängig zeigen.

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Es reicht zu zeigen, dass die folgende Matrix invertierbar ist$$\begin{array}{c|rrrr} & \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4\\\hline x^3 &1 & 1 & 1 & 1\\x^2 & -1 & -2 & 0 & 0\\x & 0 & 2 & 0 & -2\\1 & 3 & -1 & -1 & 5\end{array}$$denn dann kann man alle Basisvektoren \(\left<x^3;x^2;x;1\right>\) durch die Vektoren aus \(B\) ausdrücken.

Die Inverse brauchen wir noch nicht mal berechnen, sie existiert nämlich genau dann, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & -2\\3 & -1 & -1 & 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & 1 & 1\\0 & 2 & 0 & -2\\0 & -4 & -4 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & -8 & -2\end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right|=1\cdot(-1)\cdot2\cdot(-2)=4\ne0\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo :-)

Der einfachste Ansatz ist einen Koeffizientenvergleich durchzuführen. Der ist hier hilfreich, um zu zeigen, dass der Nullvektor (hier das Nullpolynom) nur trivial über \(B\) erzeugt werden kann.