Wäre A hier diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

A:=\( \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3 & -3 \\ -5 & -3 & 0 & 2 \\ 5 & 2 & 5 & 4 \\ -5 & -2 & -3 & -2 \end{pmatrix} \) ∈Μ(ℚ).
Und nehmen an dass _Χ(A) = X⁴ + X³ - 3X² - 5X - 2 gilt.

Ist A diagonalisierbar?

Problem:

Ich bräuchte Hilfe dabei, ob A diagonalisierbar ist und wie ich das hier zeigen könnte.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Char Poly:

\(\left(\lambda+ 1 \right)^{3} \; \left(\lambda- 2 \right) = 0\)

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrrr}0&0&-3&-3\\-5&-2&0&2\\5&2&6&4\\-5&-2&-3&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrrr}-3&0&-3&-3\\-5&-5&0&2\\5&2&3&4\\-5&-2&-3&-4\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right) \)

λ=-1 DimER = 2 ==> alg. VielFH ≠ geom. VielFH

λ=2 DimER = 1

==> nicht diag.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :) Kannst du mir vielleicht noch mal kurz erklären was alg. VielFH ≠ geom. VielFH bedeutet? Ist damit algebraische ≠ geometrische Vielfachheit gemeint?

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Jep, das wollte ich zum Ausdruck bringen;-)...

zum Nachrechnen

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r