invertierbare Matrix S, so dass S^t * A * S = I und S^t * B * S diagonal

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Matritzen

A:= \( \begin{pmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/9 \end{pmatrix} \)

B:= \( \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \)

eine invertierbare Matrix S so, dass \( S^{t} \) * A * S = I und \( S^{t} \) * B * S diagonal ist.

Problem/Ansatz:

Ein S für jeweils \( S^{t} \) * A * S = I und \( S^{t} \) * B * S diagonal zu bestimmen schaffe ich, jedoch

ein S für welche beide gelten nicht. Hier stehe ich auf dem Schlauch. Ein Tipp wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde da ganz naiv rangehen und \(\mathbf S=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) einsetzen:$$\mathbf S^T\cdot\mathbf A\cdot\mathbf S=\frac1{36}\begin{pmatrix}9a^2+4c^2 & 9ab+4cd\\9ab+4cd & 9b^2+4d^2\end{pmatrix}$$$$\mathbf S^T\cdot\mathbf B\cdot\mathbf S=2\begin{pmatrix}-(a-c)^2 & (a-c)(d-b)\\(a-c)(d-b) & -(b-d)^2\end{pmatrix}$$

Da beide Ergebnisse Diagonalmatrizen sein sollen, muss gelten:$$9ab+4cd=0$$$$(a-c)(d-b)=0\quad\implies\quad a=c\;\lor\;b=d$$Aus der Forderung, dass \(\mathbf S\) invertierbar sein soll, folgt zusätzlich:$$ad\ne bc$$Wir wählen \(b=d=1\), wodurch sich die Forderungen reduzieren auf:$$9a+4c=0\quad\land\quad a\ne c$$Wir wählen noch \(a=1\) und erhalten damit \(c=-\frac94\).

Damit haben wir eine Matrix mit den geforderten Eigenschaften konstruiert:$$\mathbf S=\begin{pmatrix}1 & 1\\-\frac94 & 1\end{pmatrix}$$