Hallo,
gegeben ist:$$f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, f(x,y)=\frac{6}{7}\left(x+2y^2\right)\chi_{(0,1)^2}(x,y)$$ Die Indikatorfunktion wirkt wie ein "An- und Ausschalter", wenn \((x,y)\in (0,1)\times (0,1)\) nimmt sie den Wert \(1\) an, ansonsten \(0\).
Für \(x\in (0,1)\) und \(y\in (0,1)\) gilt \(x>0\) und \(y>0\) und damit auch \(\frac{6}{7}(x+2y^2)>0\). Andernfalls überall gleich 0: Damit folgt die Nichtnegativität. Weiter ist \(f\) integrierbar als Summe integrierbarer Funktionen. Überdies ist \(f\) normiert, denn:$$\int_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\, \mathrm{d}(x,y)=\frac{6}{7}\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1}x+2y^2\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y=1$$ Beachte hier die Indikatorfunktionseigenschaften und wie sie sich auf das Integral auswirken.
Zu den anderen Aufgaben würde ich gerne erstmal was von dir hören.
