Ist f: ℝ→ℝ differenzierbar und g: ℝ→ℝ, x ↦c·x mit c ∈ ℝ, dann gilt die Kettenregel.

Question

Aufgabe:

Ist f: ℝ→ℝ differenzierbar und g: ℝ→ℝ, x ↦c·x mit c ∈ ℝ, dann gilt die Kettenregel.

Problem/Ansatz:

zeigt man das mit den normalen Beweis der Kettenregel, oder wie kann man das zeigen?

Comments

gelöscht (s. Antwort)

Answer 1

Man prüft ob

        \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto f(g(x))\)

mit der Kettenregel abgeleitet werden darf indem man prüft ob \(f\) und \(g\) die in der Kettenregel genannten Voraussetzungen erfüllen.

Die Voraussetzungen findest du in deinen Unterlagen oder alternativ im Abschnitt "Mathematische Formulierung" des Artikels über die Kettenregel auf Wikipedia vor dem Satz, der mit "Dann ist die "zusammengesetzte" Funktion" anfängt.

zeigt man das mit den normalen Beweis der Kettenregel

Nein.

Comments

Hey danke für die Antwort, aber wie zeige ich denn das auch g differenzierbar ist?

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\(g\) ist differenzierbar weil \(g\) eine ganzrationale Funktion ist.

Falls du noch nicht weißt, dass ganzrationale Funktionen differenzierbar sind, dann ist \(g\) differenzierbar weil \(g\) eine lineare Funktion ist.

Falls du noch nicht weißt, dass lineare Funktionen differenzierbar sind, dann zeigt man dass lineare Funktionen differenzierbar sind indem man auf die Definition der Differenzierbarkeit zurückgreift, also untersucht ob der dort genannte Grenzwert existiert.

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Okay danke. Es genügt also zu sagen, dass die Kettenregel angewendet werden kann, da f nach Aufgabenstellung differenzierbar ist und g differenzierbar ist weil es sich um eine ganzrationale Funktion handelt? Oder hab ich jetzt noch was vergessen?

Answer 2

f(x) = c*x

Hier gilt die Faktorregel: f(x) = c*x -> f '(x)= c*f '(x)

Mit Produktregel:

u= c -> u' = 0

v= x -> v' =1

-> 0*x+1*c = c -> f '(x) = c