Finden Sie die beiden Funktionsterme, die zu jeweils einem der Graphen (1) bis (3) passen.

Question

Aufgabe: Finden Sie die beiden Funktionsterme, die zu jeweils einem der Graphen (1) bis (3) passen.

A: f(x) = 1,5 * sin(2*(x-π/2)) + 1

B: f(x) = -1,5 * sin(π * (x+1)) + 1

C: f(x) = 1,5 * sin(π * x+2π) + 1

D: f(x) = 1,5 * sin(2π * (x+1)) +1

E: f(x) = 1,5 * sin(2π *(x-1)) + 1

F: f(x) = - 1,5 * sin(2*(x-π)) + 1

Answer 1

Lineare Transformation von Funktionen:

        \(f(x) = a\cdot g(\frac{1}{b}\cdot(x-c))+d\).

Den Funktionsgraphen von \(f\) bekommt man indem man den Funktionsgraphen von \(g\)

1. horizontal mit dem Faktor \(b\) skaliert (\(|b|> 1\) Streckung, \(|b|< 1\) Stauchung, \(b < 0\) Spiegelung an der y-Achse),
2. horizontal um \(c\) verschiebt (\(c > 0\) nach rechts, \(c < 0\) nach links),
3. vertikal mit dem Faktor \(a\) skaliert (\(|a|> 1\) Streckung, \(|a|< 1\) Stauchung, \(a < 0\) Spiegelung an der x-Achse),
   
4. vertikal um \(d\) verschiebt (\(d > 0\) nach oben, \(d < 0\) nach unten).

Beispiel.

B: f(x) = -1,5 * sin(π * (x+1)) + 1

\(a = -1{,}5\), \(b=\frac{1}{\pi}\), \(c=-1\), \(d=1\)

1. Es ist \(|b|< 1\) also horizontale Stauchung. Hochpunkt der Sinusfunktion ist bei \(\left(\frac{\pi}{2} | 1\right)\). Nach der Transformation ist er bei \(\left(\frac{\pi}{2}\cdot b | 1\right) = \left(\frac{1}{2} | 1\right)\).
   
2. Es ist \(c < 0\). Der Hochpunkt wandert von \(\left(\frac{1}{2} | 1\right)\) zu \(\left(\frac{1}{2}+c | 1\right) = \left(-\frac{1}{2} | 1\right)\) .
   
3. Es ist \(|a| > 1\) also vertikale Streckung. Es ist \(a < 0\) also Spiegelung an der y-Achse. Aus dem Hochpunkt \(\left(-\frac{1}{2} | 1\right)\) wird der Tiefpunkt \(\left(-\frac{1}{2} | 1\cdot a\right)= \left(-\frac{1}{2} | -1{,}5\right)\)
4. Es ist \(d > 0\) also Verschiebung nach oben. Aus dem Tiefpunkt \(\left(-\frac{1}{2} | -1{,}5\right)\) wird der Tiefpunkt \(\left(-\frac{1}{2} | -1{,}5+d\right)=\left(-\frac{1}{2} | -0{,}5\right)\).

Das deutet auf den Graphen (1) hin. Da es mehrere Transformationen gibt, die aus dem Hochpunkt \(\left(\frac{\pi}{2}|1\right)\) den Tiefpunkt \(\left(-\frac{1}{2} | -0{,}5\right)\) machen, solltest du auch noch untersuchen, wie ein Tiefpunkt der Sinusfunktion durch B transformiert wird.