Zeigen Sie mittels Restgliedabschätzung

Question

Aufgabe:

Die Funktion soll im Intervall [0, 2] durch ihr Taylorpolynom T5 (x) approximiert werden ( x0 = 0 ). Zeigen Sie mittels Restgliedabschätzung, dass die Abweichung zwischen der
Funktion und diesem Taylorpolynom an jeder Stelle des Intervalls weniger als \( \frac{1}{10} \)  beträgt.

f(x)= \( e^{-x} \)
Problem/Ansatz

Wie rechne ich das denn aus ?

Comments

Hallo,

dazu benötigst Du die Taylor-Formel. Vielleicht kannst Du "Eure" Version mal hierhinschreiben, damit wir sehen, wir Ihr das Restglied - also die Differenz zwischen den Funktionswerten und einem Taylor-Polynom - formuliert habt.

Außerdem brauchst du die Information, wie die Ableitungen von \(f(x)=e^{-x}=\exp(-x)\) lauten.

Gruß Mathhilf

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 \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) \( \frac{f^k (x0)}{k!} \) * (x-x0)^k+ \( \frac{fn+1 (Alpha)}{((n+1)!} \) *(x-x0)ⁿ⁺¹

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Ok,

wir haben also hier n=5. Wie sieht dann konkret die Summe aus, mit den Ableitungen von f an der Stelle \(x_0=0\)?

Wie sieht das Restglied konkret aus? Welche Information hast Du über \(\alpha\), wenn x im Intervall [0,2] liegt?

Answer 1

Hallo

das TP ist einfach die übliche bekannte e^x Reihe, natürlich statt x (-x) bis zu (-x)^5

dann such dir die Restgliedabschätzung aus deinem Skript oder wiki raus, du brauchst dazu  die 6 te Ableitung, davon das max in dem Intervall.

Gruß lul