Bestimmen Sie alle lokalen Minimalstellen und Maximalstellen der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Minimalstellen und Maximalstellen der Funktion

f(x,y)= sin x + sin y - sin(x+y),

die im Bereich {(x,y): x > 0, y > 0, x+y<2π} liegen.

Problem/Ansatz:

Zuerst würde die partiellen Ableitungen berechnen

f_x =  cos x - cos (x+y)   f_xx= sin(x+y)- sin x  f_xy = sin(x+y)

f_y= cos y - cos(x+y)      f_{yy =} sin(x+y)- sin y

Anschließend muss man die Potentiellen Kandidaten für die Nullstellen herausfinden, aber damit habe ich Schwierigkeiten.

Wie muss ich da vorgehen ?

Comments

Die Ableitung von cos(x) ist - sin(x). Das Minus hast du vergessen.

---

Bei welcher Ableitung ? ich habe doch - sin(x) und - sin(y) dort stehen :)

---

Bei der 2. Ableitung!

cos(x+y) -> -sin(x+y)

---

die Ableitung von -cos(x+y) ist sin(x+y).

---

- (-sin(x+y)) = + sin(x+y)

Vor cos steht ein MINUS.

---

Man beachte auch die Reihenfolge der Summanden.

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\cos x-\cos(x+y)}{\cos y-\cos(x+y)}$$

Daraus lesen wir ab:$$\phantom{\implies}\cos (x+y)=\cos x\;\land\;\cos(x+y)=\cos y$$$$\implies \cos x=\cos y$$$$\implies y=x+2\pi\cdot\mathbb Z$$$$\implies\cos x=\cos(x+y)=\cos(x+x+2\pi\cdot\mathbb Z)=\cos 2x$$$$\implies\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1$$$$\implies0=2\cos^2x-\cos x-1=(2\cos x+1)(\cos x-1)$$$$\implies\cos x=-\frac12\;\lor\;\cos x=1$$$$\implies x=\pm\frac23\pi+2\pi\cdot\mathbb Z\quad\lor\quad x=2\pi\cdot\mathbb Z$$

Unter den Bedingungen \(x>0\), \(y>0\) und \(x+y<2\pi\) steuert die zweite Lösung \(x=2\pi\cdot\mathbb Z\) keinen Kandidaten bei. Die erste Lösung liefert jedoch zwei Kandidaten für Extremwerte:$$x_1=\frac{2}{3}\pi\quad;\quad x_2=-\frac{2}{3}\pi+2\pi=\frac{4}{3}\pi$$Wegen \(y=x\) und \(\frac{4}{3}\pi+\frac{4}{3}\pi=\frac{8}{3}\pi>2\pi\) bleibt nur ein einziger Kandidat übrig:$$K\left(\frac{2\pi}{3}\bigg|\frac{2\pi}{3}\right)$$

Comments

Kleiner Druckfehler beim 4. Pfeil: \(cos(2x)=...\)

---

Danke dir, hab's korrigiert.