Bestimmen der Parameter a,b,c,d

Question

Gegeben sei die Menge

\( Q=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3\right\} \)

Der Rand \( \partial Q \) von \( Q \) besteht aus sechs glatten Flächenstücken. Diese seien so parametrisiert, dass die Normalen überall aus der Menge \( Q \) heraus nach außen zeigen.

Betrachten Sie das Vektorfeld \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
\( \vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y^{2} \\ z^{2} \end{array}\right) \)

Dann ist
\( \iint_{\partial Q} \vec{v} \cdot \mathrm{d} \vec{O}=\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{3}(a x+b y+c z+d) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x \)
mit \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \)

Bestimme

a=

b=

c=

d=

Was genau muss ich in dieser Aufgabe machen?

Answer 1

Aloha :)

Du hast 6 Seitenflächen, deren Normalenvektoren jeweils nach außen zeigen sollen:

$$d\vec O=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}dx\,dy\quad;\quad x\in[0;1]\;;\;y\in[0;2]\;;\;z=0\quad\text{(untere Seite)}$$$$d\vec O=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dx\,dy\;\;\;\quad;\quad x\in[0;1]\;;\;y\in[0;2]\;;\;z=3\quad\text{(obere Seite)}$$$$d\vec O=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz\quad;\quad x=0\;;\;y\in[0;2]\;;\;z\in[0;3]\quad\text{(linke Seite)}$$$$d\vec O=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz\;\;\;\quad;\quad x=1\;;\;y\in[0;2]\;;\;z\in[0;3]\quad\text{(rechte Seite)}$$$$d\vec O=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}dx\,dz\quad;\quad x\in[0;1]\;;\;y=0\;;\;z\in[0;3]\quad\text{(vordere Seite)}$$$$d\vec O=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}dx\,dz\;\;\;\quad;\quad x\in[0;1]\;;\;y=2\;;\;z\in[0;3]\quad\text{(hintere Seite)}$$

Damit kannst du nun das Flussintegral durch jede der Seiten angeben:

$$\Phi_{uS}=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{z=0}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}dx\,dy=0$$

$$\Phi_{oS}=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{z=3}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^29\,dx\,dy$$

$$\Phi_{lS}=\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{x=0}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}0\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz=0$$

$$\Phi_{rS}=\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{x=1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\begin{pmatrix}2\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}dy\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^22\,dy\,dz$$

$$\Phi_{vS}=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{y=0}\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}dx\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\0\\z^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}dx\,dz=0$$

$$\Phi_{hS}=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\2y^2\\z^2\end{pmatrix}_{y=2}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}dx\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\begin{pmatrix}2x\\8\\z^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}dx\,dz=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^38\,dx\,dz$$

Der gesamte Fluss durch alle Würfelseiten beträgt daher:

$$\Phi=\iint\limits_{\partial Q}\vec v\,d\vec O=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^29\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^22\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^38\,dx\,dz$$

Das sollen wir jetzt nicht ausrechnen, sondern in die Form eines Volumenintegrals bringen:$$\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{z=0}^33\,dz\right)}^{=9}\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{x=0}^12\,dx\right)}^{=2}\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{y=0}^24\,dy\right)}^{=8}\,dx\,dz$$$$\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^33\,dx\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^32\,dx\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^34\,dx\,dy\,dz$$$$\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^39\,dx\,dy\,dz$$

Damit haben wir als Ergebnis:$$a=b=c=0\quad;\quad d=9$$

Comments

Wahnsinn, was du wieder hingezaubert hast!

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Danke dir ;)

Leider funktioniert der Gauß'sche Satz nicht, weil das Vektorfeld \(\vec v\) kein Vektorpotential hat. Deswegen musste man das zu Fuß ausrechnen. Das dient jedenfalls dem Verständnis von Oberflächenintegralen.

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Danke dir erstmal!

Wie kommst du auf die 6 Seitenflächen?

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Im Aufgabentext steht, dass es sich um 6 glatte Seitenflächen handelt. Anhand der Wertebereiche für \(x,y,z\) ist klar, dass die Punktmenge ein Quader ist. Damit habe ich mir dann die 6 Normalenvektoren überlegt...

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Stimmt und etwas weiter unten hast du wie gerechnet, sodass dann die Ergebnisse herausbekam?

also von da

\( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{2}\left[\begin{array}{c}2 x \\ 2 y^{2} \\ z^{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] d x d y \)

bis hierhin

\( \int \limits_{x=0}^{1} \int \limits_{y=0}^{2}\left(\begin{array}{c}2 x \\ 2 y^{2} \\ 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) d x d y=\int \limits_{x=0}^{1} \int \limits_{y=0}^{2} 9 d x d y \)

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Es wird nur über \(dx\) und \(dy\) integriert, das heißt der Wert für \(z\) wird festgehalten. Also habe ich \(z=3\) eingesetzt und das Skalarprodut bestimmt.

PS: Es muss übrigens \(1\) im letzten Vektor heißen, nicht \((-1)\). Da habe ich wohl bei Copy-Paste vergessen, das Minus zu löschen. Ich korrigiere das in meiner Antwort ;)

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Ok, das habe ich jetzt verstanden.

Entschuldige für die vielen Fragen

Aber hier noch die 3 dz, 2dx und 4dy,

guckt man einfach was im Integral oben steht und sieht mit was sich das multipliziert damit bspw 9 ergibt...? oder wie kommt man auf die

\(\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{z=0}^33\,dz\right)}^{=9}\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{x=0}^12\,dx\right)}^{=2}\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{z=0}^3\overbrace{\left(\;\;\int\limits_{y=0}^24\,dy\right)}^{=8}\,dx\,dz\)

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Ich muss das Ergebnis ja auf ein Integral über alle drei Variablen \(dx\), \(dy\), \(dz\) bringen. Daher habe ich mir überlegt, wie man die Konstante mit dem jeweils fehlenden Integral ausdrücken kann:$$9=\int\limits_{z=0}^33\,dz\quad;\quad2=\int\limits_{x=0}^12\,dx\quad;\quad8=\int\limits_{y=0}^24\,dy$$Dmit kann ich dann jedes der 3 Integrale in der gesuchten Form schreiben und alle zu einem Integral zusammenfassen.

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Ahh okay und jetzt wirklich die letzte Frage :D

Dass a,b und c=0 sind und d = 9 hast du jetzt wie herausgefunden?

Wurde, das

\(\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^33\,dx\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^32\,dx\,dy\,dz+\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^34\,dx\,dy\,dz\)

zusammengefasst, damit das herauskam?

                                                                                                                                \(\Phi=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^2\;\int\limits_{z=0}^39\,dx\,dy\,dz\)

und dann geguckt, dass es nur 9 gibt und somit sind alle restlichen Parameter 0?

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Ja genau, ich sehe, du hast alles verstanden ;)