Aloha :)
Die Unbekannte \(i\) ist die imaginäre Einheit. Du musst beachten, dass beim komplexen Skalarprodukt einer der beiden Vektoren komplex konjugiert werden muss. Ich habe hier den ersten Vektor gewählt. Das kann in deiner Vorlesung der zweite Vektor sein. Die Festlegung ist nicht eindeutig. Prüfe daher bitte, wie euer Professor das in der Vorlesung definiert hat.
zu a) Wir schreiben die Basisvektoren in eine Matrix und bringen diese durch elementare Spaltenumformungen weitestgehend auf Stufenform:$$\begin{array}{rrr} & & -S_1\\\hline1 & 0 & 1\\1 & i & i\\1 & 1 & 1\\1 & 0 & i\end{array}\to\begin{array}{rrr}& \cdot\, i &\colon(i-1)\\\hline1 & 0 & 0\\1 & i & i-1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & i-1\end{array}\to\begin{array}{rrr}-S_3& +S_3&\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -1 & 1\\1 & i & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr}&\cdot(-i)&\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & i & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrr}-S_2&&\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & -i & 1\end{array}\to\begin{array}{rrr}\vec a_1 & \vec a_2 & \vec a_3\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\i & 0 & 1\end{array}$$Jetzt sind wir schon fast fertig, denn wir lesen ab:$$\vec a_1\cdot\vec a_2=0\quad;\quad\vec a_1\cdot\vec a_3=-i\quad;\quad\vec a_2\cdot\vec a_3=0$$
Der Vektor \(\vec a_2\) ist also bereits zu den beiden anderen orthogonal. Zur Herstellung der Orthogonalität von \(\vec a_1\) und \(\vec a_3\) projezieren wir \(\vec a_3\) auf \(\vec a_1\), um den Anteil von \(\vec a_3\) zu ermitteln, der parallel zu \(\vec a_1\) ist:
$$\vec a_3^\parallel=\frac{\vec a_1\cdot\vec a_3}{\|\vec a_1\|}\cdot\vec a_1=\frac{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}^\ast\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}^\ast\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}=\frac{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-i\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}=\frac{-i}{2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}$$
Diesen zu \(\vec a_1\) parallelen Anteil subtrahieren wir von \(\vec a_3\):$$\vec a_3^\perp=\vec a_3-\vec a_3^\parallel=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{i}{2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i/2\\1\\0\\1/2\end{pmatrix}$$
Damit haben wir drei Basis-Vektoren \(\vec a_1\), \(\vec a_2\) und \(\vec a_3^\perp\) gefunden, die zueinander orthogonal sind. Wir brauchen diese nur noch zu normieren und erhalten dann eine Orthonormalbasis:
$$\vec b_1\coloneqq\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\i\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_2\coloneqq\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_3\coloneqq\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}i\\2\\0\\1\end{pmatrix}$$
zu b) Jetzt sollst du diese Orthonormal-Basis \(B\) des Unterraums zu einer Orthonormal-Basis des \(\mathbb C^4\) ergänzen. Schau dir dazu nochmal die Matrix-Umformungen von oben an. Hätten wir einen Vektor \(\vec a_4=(0;0;0;1)\) könnten wir die vierte Komponente aus \(\vec a_1\) und \(\vec a_3\) sofort herausrechnen und würden die Standard-Basis des \(\mathbb C^4\) erhalten. Daher ist dieser Vektor \(a_4\) unser Ausgangspunkt. Dieser Vektor muss zu den drei Basis-Vektoren von \(B\) orthonormiert werden.
Da \(\vec a_4\) bereits orthogonal zu \(\vec b_2\) ist, brauchen wir nur noch zwei Orthogonalisierungs-Schritte (Parallel-Projektion wie oben vorgeführt). Die Freude daran möchte ich dir aber nicht nehmen. Ich denke, das Prinzip ist klar geworden. Falls du alleine nicht weiter kommst, bitte einfach nochmal nachfragen...
