Formell aufschreiben, dass a+b > (ab)/(a+b) gilt

Question

Hallo, wie kann ich beweisen, dass a+b größer ist als (ab)/(a+b), wenn a > b und a, b ∈ ℝ sowie a, b > 0.

Achtung! Es folgt ein wirrer Text, der nicht gelesen werden muss und nur meine Gedanken zu der Aufgabe wiedergibt.

Ich habe mir die beiden Funktionen vorgestellt und sehe, dass je ungleicher (ab)/(a+b) sind das Ergebnis immer kleiner wird, ein extremes Beispiel wäre mit a = 1 und b = 100, wo 100/101 raus kommt. Je gleicher die Zahlen werden, desto größer wird das Ergebnis im Vergleich zu a+b, doch erreicht es das nie. Was daran liegt, dass im Idealfall, wenn a = b gilt (was durch die Ungleichheit a > b nicht möglich ist) da quasi a²/2a steht. Trotzdem ist das kleiner als 2a, da im Zähler das Quadrat des Nenners stehen müsste, damit der Nenner raus kommt, sprich (2a)²/2a wäre gleich 2a. Somit wird a+b von (ab)/(a+b) niemals erreicht, doch wie schreibe ich das formell und einfach auf?

Answer 1

Hallo,

a^2+2ab+b^2>ab

(a+b)^2>ab

a+ b>ab/(a+b)

Da a und b positiv sind, muss dass > beim Dividieren nicht geändert werden.

:-)

Answer 2

Aloha :)

Für \(a>b>0\) gilt:$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=\underbrace{(a^2+b^2)}_{\ge0}+2ab\ge2ab=\underbrace{ab}_{>0}+ab>ab$$Da Quadratzahlen immer \(\ge0\) sind, ist \((a^2+b^2)\ge0\). Da nach Voraussetzung \(a>b>0\) ist, muss \(ab>0\) gelten. Da auch \((a+b)>0\) ist dürfen wir die Ungleichung durch \((a+b)\) dividieren, ohne dass sich das Relationszeichen ändert:$$(a+b)^2>ab\quad\text{bzw.}\quad a+b>\frac{ab}{a+b}$$