Zeigen Sie, dass wenn für alle x ∈ G gilt x · x = eG, dann ist G kommutativ.

Question

Sei (G, ·) eine Gruppe und sei eG das neutrale Element.
Zeigen Sie, dass wenn für alle x ∈ G gilt x · x = eG, dann ist G kommutativ.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie: Hat eine Gruppe G

Stichworte: gruppe

Beweisen Sie: Hat eine Gruppe G die Eigenschaft xx = e fur alle x ∈ G, so ist G abelsch.

Hier stehe ich komplett auf die Leitubg, wie man das am besten macht.

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Kommutativ heißt also abelsch?

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Richtig. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Abelsche_Gruppe

Ich vermute, dass der Beweis von 2019 eleganter ist, als der alte.

Weitere Versionen https://www.mathelounge.de/170071/gruppe-g-mit-g-2-e-zeige-das-ist-eine-abelsche-gruppe

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Vom Duplikat:

Titel: Sei G eine Gruppe mit a ∗ a = 1 fur alle a ∈ G. Zeigen Sie, dass G kommutativ ist? Wie kann man das beweisen

Answer 1

Sei (G, ·) eine Gruppe und sei eG das neutrale Element. Ich schreibe e für eG.
Zeigen Sie, dass wenn für alle x ∈ G gilt x · x = eG, dann ist G kommutativ.

Seien y und z zwei beliebige Elemente von G mit y≠z.

Zu zeigen: yz = zy.

Beweis:

yz ist Element von G.

Deshalb gilt yzyz = e, yy= e und zz=e

 zy = zy e = zy yzyz = zezyz = zzyz = eyz = yz

Umformung benutzt nur (allerdings wiederholt) das Assoziativgesetz

und die Eigenschaften der Multiplikation mit e in G.

Comments

Zur Aufgabenstellung: Ist zu zeigen das G kommutativ ist, gdw. sie das neutrale Element besitzt?

Folgt aus x * x = e_G für alle x =1, da e_G =  1?

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@Anonym. Nein es folgt nur, dass für beliebige Elemente von G das Produkt mit sich selbst e ist. Deshalb kannst du im Beweis immer pärchenweise gleiche nebeneinander stehende Elemente durch e ersetzen.

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Ja aber e =1, also auch nur 1 mit sich als Produkt = e? wo ist mein Denkfehler?

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Ich sehe keine Fehler. Verstehe demnach die Frage nicht.

Statt e schreibt man oft 1, da es das neutrale El. der Mult. ist.

(-1)*(-1) = 1 

Aber -1 ≠ 1

 

Du schreibst oben: 

Folgt aus x * x = e_G für alle x =1, da e_G =  1?

Es heisst da aber in der Fragestellung nur für alle x in G. 

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Ok. Also für alle x aus G folgt aus x * x = e  Wertemenge = {1, -1, (und vielleicht wurzel 1 und co)}

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Ja ich glaub du hast das jetzt begriffen.

In dieser Gruppe sind alle Elemente gemäss Voraussatzung sozusagen 'Quadratwurzel' von 1. 

Ich ergänze mai in der Umformung noch Klammern, damit man sieht, dass das Assoziativgesetz oft zum Zug kommt.

 

yz ist Element von G.

Deshalb gilt (yz)(yz) = e, yy= e und zz=e

 zy = zy e = zy (yz)(yz) = z(yy)zyz = zezyz = zzyz = eyz = yz

 

Answer 2

Seien \( a,b \in G\)

$$ (ab) (ab) = e\\ \implies bab = aabab = ae = a\\\implies ab = bbab = ba $$

Erster Schritt: Multiplikation von links mit a

Zweiter: Multiplikation von links mit b.

Answer 3

a∗b = (a∗(b∗b))∗(b∗(a∗a))

Forme um.

Comments

Forme um

Das kann ja jeder sagen.

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@Gast hj2166 Vielleicht war in der Tat a∗b = ((a∗a)∗a)∗(b∗(b∗b)) nicht so der geeignetste Ansatz. Ich frage mich, wer mir dafür ein Pluspunkt verpasst hat.

Answer 4

vielleicht so:

wegen der gegebenen Eigenschaft ist

(xx')(xx')=e , multipliziere nun von links x und von rechts x' heran:

x(xx')(xx')x'=xex', rechts kannst du das e weglassen und links umklammern:

(xx)(x'x)(x'x')=xx' , links steht außen jeweils e, kann weggelassen werden

x'x=xx'