Zeigen sie, dass F,und G UV räume sind

Question

Aufgabe:

Gegeben zwei Mengen !

Problem/Ansatz:

F={(x,y,z)∈R3|x+y−z= 0} and G ={(a−b,a+b,a−3b) | a,b∈R}

a) Zeigen sie, dass F,und G UV räume sind

   -> F ist homogenes LGS also ein UV ,

    -> In G gelten alle Bedingungen, denn 0v ist enthalten, Addition unter reellen Zahlen ist abg, und Mutliplikation ist abg unter reellen Zahlen.

b) Calculate F∩G without resorting to any basis vector? ich verstehe nicht was die meinen mit without resorting ?

c) Find one basis for F and one fo rG, calculate F∩G using the basis vectors previously found and check your result with the previous question

Answer 1

b)  Ich würde das mal so übersetzen:

ohne auf irgendwelche Basisvektoren Bezug zu nehmen

(Das kommt dann bei c)

Also einfach (a−b,a+b,a−3b) bei x+y−z= 0 einsetzen

gibt a +3b = 0 also alle mit a = -3b .

So etwa ( -3b-b , -3b+b , -3b - 3b )

= ( -4b , -2b  , -6b )

also wäre ein Basis für den Durchschnitt

( -4 , -2   ,  -6  )

c)  Basen für F und G können ja sein

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

und $$\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\1\\-3 \end{pmatrix}$$

Für den Schnitt löse

$$ r \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\-3 \end{pmatrix}$$

und du bekommst das Gleiche.

Comments

okay ich verstehe aber wieso ist der schniit in b eine basis ? weil wir mit allen reellen zahlen multipliziert mit dem Durschnittsvektor den Raum F∩G abbilden können ?

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Hatte mich verrechnet. Ist jetzt korrigiert.

Schnitt heißt ja: Es müssen beide definierende

Bedingungen gelten.

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wie hast du in c die basen bestimmt ?

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Weil es ist ja einelementig ?

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Basis für F:

Aus x+y-z=0 folgt z=x+y

Also sehen die alle so aus

$$\begin{pmatrix} x\\y\\x+y \end{pmatrix}= x \cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+ y \cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Und somit eine Basis

$$ \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

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ahh, bei G ?

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Bei G entsprechend

$$\begin{pmatrix} a-b\\a+b\\a-3b \end{pmatrix}= a \cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+ b \cdot\begin{pmatrix} -1\\1\\-3 \end{pmatrix}$$

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Okay danke:)