Zeigen Sie, dass die Funktion f in diesem Fall keine Extremstellen hat.

Question

Aufgabe:

Welche Beziehumg muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?

Zeigen Sie, dass die Funktion f in diesem Fall keine Extremstellen hat.

Answer 1

Welche Beziehumg muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?

f(x) = x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·x^2 + 2·b·x + c

f''(x) = 6·x + 2·b = 0 --> x = - b/3

f'(- b/3) = 3·(- b/3)^2 + 2·b·(- b/3) + c = 0 --> c = b^2/3

Comments

War es nicht "bx"  ?

---

sicher nicht, denn dann könnte man bx und cx zusammenfassen oder nicht ?

---

Na und ?  Dann könnte man wohl auch (b+c)x schreiben .

---

Eigentlich würde das kein halbwegs vernünftiger Mathematiker so machen oder?

Wobei ich damit nach sagen will das ich dich nicht für halbwegs vernünftig halte.

Warum sollte ich also b + c für etwas schreiben wenn ich dafür auch z schreiben kann? Das macht für mich keinen Sinn.

---

Also unterstellen wir mal einen Tippfehler

beim Fragesteller. Der äußert sich ja vielleicht noch.

---

Ja. Ich würde vielleicht sogar ein Tippfehler vom Mathelehrer nicht ausschließen.

Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist wie sie dort steht.

---

Mathecoach hat recht, es liegt ein Tippfehler vor

Answer 2

Außer Konkurrenz:

Wenn die Funktion 3-ten Grades Extremalstellen besäße, würde eine Wendestelle

echt zwischen 2 Extremalstellen liegen. Dann gäbe es in unserem Falle

3 Stellen mit waagrechter Tangente, so dass die Ableitung mindestens den Grad 3,

die Funktion selbst also mindestens den Grad 4 haben müsste.

Answer 3

Ich möchte den bisherigen unkreativen Standard-Antworten gern einen anderen Aspekt entgegensetzen.

Die Funktion f(x)=x³ und jede Funktion der Form f(x)=ax³ (mit a ≠0) haben offensichtlich die geforderte Eigenschaft.

Das mit dem a können wir bei dieser Aufgabe ignorieren, weil offensichtlich a=1 vorausgesetzt ist.

Es handelt sich bei den gesuchten Funktionen um solche, die aus irgendeiner Verschiebung des Graphen von x³ hervorgehen. Die Funktionsgleichung solcher Funktionen ist

f(x)=(x-u)³+v.

Somit gilt x³ + bx² + cx + d=(x-u)³+v=x³-3ux²+3u²x-u³+v.

Den fälligen Koeffizientenvergleich nebst der Erkenntnis der Bedeutungslosigkeit des Absolutglieds überlasse ich der geneigten Leserschaft.

Answer 4

f(x) = x³ + bx + cx + d

f ' (x) = 3x^2 + b + c

f ' ' (x)  = 6x

f ' '  (x) = 0  ==>    x = 0

f ' ' ' (0) = 6 Also WP bei x=0 .

Dort waagerechte Tangente ==>  f ' (0) = 0

                 <=>          b+c = 0

Also die gesuchte Beziehung b=-c.

Also folgt f ' (x) = 0 <=>   3x^2 = 0   <=>   x=0 .

Dort ist aber der WP. Also gibt es keine Extrema.

Answer 5

"Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, Damit der Graph von f mit f(x) = x³ + bx^2 + cx + d einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat?"

f´(x)=3x^2+2bx+c

f´´(x)=6x+2b

6x+2b=0

x=-\( \frac{1}{3} \)b

f´(-\( \frac{1}{3} \)b )=3(-\( \frac{1}{3} \)b )^2+2b(-\( \frac{1}{3} \)b )+c=\( \frac{1}{3} \)b^2-\( \frac{2}{3} \)b^2+c=-\( \frac{1}{3} \)b^2+c

-\( \frac{1}{3} \)b^2+c=0

c=\( \frac{1}{3} \)b^2

Comments

Extrem schrecklicher Code...

---

Du darfst ihn gerne bearbeiten!