Bringen Sie die Matrix A in Zeilenstufenform

Question

Ich habe Fragen zu der Zeilenstufenform. Ich habe Matrix A und muss sie in Zeilenstufenform bringen.

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 5 } & 4 & { 5 } \\ { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 6 } & { 6 } & 6 \\ { 2 } & { 5 } & 6 & 9 & 7 & 11 \end{array} \right) $$

Als Lösung hab ich:

$$ B = \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & 0 & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) $$

Was kann ich jetzt dadurch aussagen und wie?

Ausserdem frag ich mich, ob es immer nur eine Lösung für eine ZSF gibt oder hätte ich es auch so lösen können das in der 4. Zeile und Spalte die 1 steht und nicht die 0?! Ich bin mir halt auch nicht sicher ob ich jetzt fertig bin oder nicht, also wann man die ZFS GENAU erreicht hat.

Comments

wie bist du auf die stufenform gekommen? ich komm nicht dahinter welche umformung du genutzt hast um die letzten 2 zeilen so hinzukriegen

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ich würde mich auch über eine genaue Herleitung freuen. Außerdem wäre ich auch über eine Lösung zum b) Teil der Aufgabe dankbar: Geben Sie eine Basis von ker(A) an und geben Sie Rg(A) an.

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Die T`s sind die einzelnen Elementaren Matrizen!

T1 : Z2 → Z2 - 2*Z1 ;

T2 : Z3 → Z3 - Z1 ;

T3 : Z4 → Z4 - 2*z1 ;

T4 : Z4 → Z4 - Z2;

T5 : Z3 → Z3 - Z2

T6 : Z4 → Z4 - 2*Z3

Das vor dem Pfeil sagt, in welcher zeile ich halt umforme, aber das (ich zitiere) "ist ja ganz klar" (;

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Ich bin mir nicht sicher ob wir ZSF definiert haben. Er hat nur über reduzierte ZSF geredet.

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Er meinte heute in der Vorlesung, dass er ZSF nicht definiert hat und immer reduzierte ZSF meint.

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Ich hab als reduzierte Zeilenstufenform

1  0  0  6  0  6

0  1  0  -3  0  -3

0  0  1  2  0  0

0  0  0  0  1  2

 

bleibt denn die Lösung von Aufgabenteil b dieselbe?

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Edit: Verlesen, hab ich nicht so, bei mir ist in der letzten spalte 6  -3  0  2.

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ja schon geändert

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Wie sieht es denn mit b) aus? :)

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aufgabe b ist hier gelöst:

https://www.mathelounge.de/9224/geben-sie-eine-basis-von-ker-a-an-und-geben-sie-rg-a-an

Answer 1

Du hast das völlig richtig gemacht und deine ZSF ist auch völlig richtig. Ich komme auf die gleiche Form.

Wenn sich eine Variable weghebt. Hier die 4. hast Du eine lineare Abhängigkeit, was dazu führt, das du jetzt 2 Freiheitsgerade hast.

Du darfst also hier die 6. und die 4. Variable frei wählen. Du hättest es meiner Meinung nach nicht verhindern können, das die 4. Variable wegfällt.

Comments

Was meinst du genau mit weghebt und Freiheitsgerade?

Was wäre zum Beispiel der Rang dieser Matrix wo und wie sehe ich das?

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Der Rang ist im runde die Anzahl der Stufen die entstehen und wäre in diesem Fall 4.

Answer 2

Deine Matrix B ist noch keine ZSF. Die Spalten 2, 3 und 5 sind noch in die richtige Form (bestehend aus einer 1 und sonst Nullen) zu bringen.

Comments

Dann würde ich es aber auf die nomierte ZSF bringen und das war ja nicht nötig

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Bei T5 hast du dich wahrscheinlich verschrieben, da müsste Z3-> Z3- 2* Z2