Umgekehrte Kurvendiskussion Koeffizienten berechnen

Question

Beispiel :

Die kubische Polynomfunktion f mit
f(x) = ax³ + bx² − 6x + 10
hat im Punkt T = (1 | 5) ein lokales Minimum. Berechne die Koeffizienten a und b.

Beispiel :

Die kubische Polynomfunktion f mit
f(x) = x³ + bx² + cx + 5
ändert an der Stelle x = 1 ihr Monotonieverhalten, und ändert an der Stelle x =5/3
ihr Krümmungsverhalten.
1) Berechne die Koeffizienten b und c.
2) Begründe, ob sich an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von f befindet.

Danke im Voraus

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 − 6x + 10
hat im Punkt T = (1 | 5) ein lokales Minimum.
Berechne die Koeffizienten a und b.

f ( 1 ) = 5
f´ ( 1 ) = 0

f ( 1 ) = a*1^3 + b * 1 ^2 - 6*1 +10 = 5
a + b - 6 + 10 = 5

f´ ( x ) = 3a * x^2 + 2bx - 6
f´ ( 1 ) = 3a * 1^2 + 2b*1 - 6 = 0
3a + 2b - 6 = 0

a + b - 6 + 10 = 5
3a + 2b - 6 = 0

Lineares Gleichungssystem
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Zur Kontrolle
a:= 4
b = -3

Answer 2

Zum ersten Beispiel:

f(1)=5

f'(1)=0

Daraus ergeben sich zwei Gleichungen, mit denen du a und b bestimmen kannst.

:-)

Answer 3

"Die kubische Polynomfunktion f mit f(x) = a\( x^{3} \) + b\( x^{2} \) − 6x + 10 hat im Punkt T = (1 | 5)  ein lokales Minimum. Berechne die Koeffizienten a und b."

Weg über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

Ich verschiebe den Graphen um 5 Einheiten nach unten: T´(1 | 0) doppelte Nullstelle

p(x)=a\( x^{3} \) + b\( x^{2} \) − 6x + 5

p(x)=a*(x-1)^2*(x-N)=a*[(x^2-2x+1)*(x-N)]=ax^3-aNx^2-2ax^2+2axN+ax-aN=

=ax^3+(-aN-2a)*x^2-(-2aN-a)*x-aN

Koeffizientenvergleich:

1.)b=-aN-2a

2.)-2aN-a=6

3.)-aN=5 →-2aN=10  in 2.)10-a=6 → a=4  in 3.) -4N=5 →N=-\( \frac{5}{4} \)

b=-4*(-\( \frac{5}{4} \))-8=-3

p(x)=4\( x^{3} \) -3\( x^{2} \) − 6x + 5

Nun wieder 5 Einheiten nach oben:

f(x)=4\( x^{3} \) -3\( x^{2} \) − 6x + 10