Teleskopsumme - Umstellen von Gleichungen

Question

Kann mir jemand den mittleren Schritt erläutern? Wie kommt man von \( \sum\limits_{n=1}^{n}{} \) log(\( \frac{k+1}{k} \))  auf \( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) log(1+ k) - \( \sum\limits_{k = 0}^{n-1}{} \) log(1+ k)

Text erkannt:

\( \begin{aligned} s_{n} &=\sum \limits_{k=1}^{n} \log \left(1+\frac{1}{k}\right)=\sum \limits_{k=1}^{n} \log \left(\frac{k+1}{k}\right) \\ &=\sum \limits_{k=1}^{n} \log (k+1)-\sum \limits_{k=0}^{n-1} \log (k+1) \quad \text { (Teleskopsumme) } \\ &=\log (n+1)-\log 1=\log (n+1) \end{aligned} \)

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

Wie kommt man von \( \sum\limits_{n=1}^{n}{} \) log(\( \frac{k+1}{k} \))  auf \( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) log(1+ k) - \( \sum\limits_{k = 0}^{n-1}{} \) log(1+ k)

etwa so:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{n}\log\left( \frac{k+1}{k}\right) \\ = \sum\limits_{k=1}^{n}\left( \log(k+1) - \log(k)\right) \\ = \sum\limits_{k=1}^{n}\log(k+1) - \sum\limits_{k=1}^{n} \log(k) \quad\quad |\,j=k\\ = \sum\limits_{k=1}^{n}\log(k+1) - \sum\limits_{j=1}^{j=n} \log(j) \quad\quad |\, j=k+1\\ = \sum\limits_{k=1}^{n}\log(k+1) - \sum\limits_{k+1=1}^{k+1=n} \log(k+1) \\ = \sum\limits_{k=1}^{n}\log(k+1) - \sum\limits_{k=0}^{k=n-1} \log(k+1) \\ $$das ganze nennt man eine Indexverschiebung im Summenausdruck.

Answer 2

$$ \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{k+1}{k} \right) =  \sum_{k=1}^n \log(k+1) - \sum_{k=1}^n \log(k) = \sum_{k=1}^n \log(k+1) - \sum_{k=0}^{n-1} \log(k+1) $$

Bei dem letzten Summenzeichen gilt die Gleichheit weil ich mit der Summierung um eins weniger anfange und daher das Argument im Logarithmus um eins erhöhen muss. Das gleiche gilt für den Endindex.