Wenn f ° g injektiv ist, dann ist auch f injektiv.

Question

Aufgabe:

Hey Leute,

ich wollte fragen ob mein Beweis hier so korrekt ist und falls nicht wie man es sonst beweisen kann.

Wir haben die Mengen X, Y und Z und die Abbildungen f: X → Y und g: Y → Z.

Wenn g ο f injektiv ist, dann ist auch f injektiv.

Ich habe es per Kontraposition versucht. Also wenn f nicht injektiv ist, dann ist auch g ο f nicht injektiv.

Da f nicht injektiv ist existieren x₁, x₂ ∈ X mit f(x₁) = f(x₂) , aber x₁ ≠ x₂.

Also gilt: (g ο f)(x₁) = g(f(x₁)) = g(f(x₂)) = (g ο f)(x₂) , aber da x₁ ≠ x₂ gilt ist auch g ο f nicht injektiv.

Stimmt das so oder habe ich es mir zu leicht gemacht? Danke für die Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Die Aussage in der Überschrift und dem Text stimmen nicht überein. Laut der Definitions- und Wertemengen ist nur die Komposition \(g\circ f\) definiert. Man kann zeigen, dass \(g\) injektiv ist, wenn \(g\circ f\) injektiv ist:$$g(\,f(x)\,)=g(\,f(y)\,)\stackrel{\text{\(g\circ f\) injektiv}}{\implies} x=y\implies f(x)=f(y)$$Die Injektivität von \(f\) folgt im Allgemeinen nicht aus der Injektivität von \(g\circ f\).

Comments

Hey danke für die schnelle Antwort. Habe im Titel wohl leider f und g vertauscht...

Mmh komisch aber so ist das in der Aufgab formuliert, dass die Aussage stimmt und zu beweisen ist. Zudem ist die nächste Teilaufgabe deine Aussage zu widerlegen. :D

Was wäre wenn X die Menge aller positiven reellen Zahlen ist und Y und Z die Menge der reellen Zahlen jeweils. Und f: X → Y, x ↦ x und g: Y → Z, y ↦ \( y^{2} \). Dann wäre doch \(g\circ f\) injektiv aber g nicht injektiv.

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Ich habe gezeigt, dass aus der Injektiviät von \(g\circ f\) die Injektivität von \(g\) folgt. Die beiden Argumente, die den gleichen \(g\)-Wert liefern, sind ja \(f(x)\) und \(f(y)\) und diese müssen gleich sein.

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Habe meinen Kommentar nochmal überarbeitet.

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Die Funktion \(g:Y\to Z\) mit \(g(y)=y^2\) ist nicht injektiv, denn \(f(-1)=f(1)\). Aber die Funktion \(f\) bildet ja auch nicht auf \(Y\) ab, sondern auf \(X\).

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Genau g ist nicht injektiv, aber \(g\circ f\) ist injektiv. Und du hast doch gezeigt, dass wenn \(g\circ f\) injektiv ist, auch g injektiv ist. Und das ist ein Gegenbeispiel dazu gewesen. Oder reden wir gerade aneinander vorbei :D

Answer 2

Hallo,

ich versuche mal, das ganz von vorn zusammenzufassen: Voraussetzung

$$f:X \to Y, \quad g:Y \to X, \quad g \circ f \text{ injektiv}$$

DANN ist f injektiv. Der Beweis ist der von GausFan: Wenn f(x)=f(x'), dann g(f(x))=g(f(x')), dann auch x=x' weil \(g \circ f\) injektiv ist.

DANN NICHT (i.allg) g ist injektiv. Gegenbeispiel:

$$X=\{1\}, Y=\{1,2\}, \qquad f(1):=1, g(1):=1,g(2):=1$$

Gruß Mathhilf

Comments

Genau aber würdest du sagen mein Beweis von ganz am Anfang stimmt so?

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Das stimmt so. Ich arbeite aber nicht gerne mit der Eigenschaft \( x \neq y\), weil Gleichheit oft eine konkretere griffigere Eigenschaft ist.

Gruß Mathhilf

Answer 3

Sei \(f(x_1)=f(x_2)\). Dann folgt

\((g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2)\)

Da \(g\circ f\) injektiv ist, folgt daraus \(x_1=x_2\),

d.h. \(f\) ist injektiv.